БИССЕКТРИСА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Марич Ольга Ивановна, МАОУ СОШ № 4 города Абинска, учитель математики, Краснодарский край

Предмет (направленность): математика.

Возраст детей: 8 – 9 классы.

Место проведения: класс.

Вид урока: Урок - исследование.

Цели урока:

Образовательные: дальнейшее формирование умений систематизировать, обобщать, видеть закономерности; формирование умений решать сложные задачи, привлекая разнообразный теоретический материал из всего курса; формирование умений пользоваться опорными конспектами, графической культуры учащихся.

Развивающие: развитие мыслительных операций посредством наблюдений, сравнений, сопоставлений, сознательного восприятия учебного материала, развитие математической речи учащихся, потребности к самообразованию; способствовать развитию творческой деятельности учащихся.

Воспитательные: воспитание познавательной активности учащихся.

Оборудование: транспортир, линейка, мультимедийный проектор, презентация.

Ход урока

1. Организационный момент.

Цель урока. Так как все ученики класса в дальнейшем планируют изучать математику на профильном уровне, то они заинтересованы в получении хороших и прочных знаний по математике, которые будут реализованы в ходе ГИА, а в дальнейшем в ЕГЭ.

Для того, чтобы этого добиться существует несколько методов, один из них – метод исследования, который, как никакой другой развивает логическое мышление.

2. Проверка домашнего задания, устранение обнаруженных пробелов.

На дом учащимся была задана задача С4 из сборника по подготовке к ЕГЭ – 2009 по математике под редакцией Ф. Ф. Лысенко, в которой необходимо было использовать свойство биссектрисы параллелограмма: биссектриса угла параллелограмма при пересечении с противоположной отсекает равнобедренный треугольник.

ЗАДАЧА. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1:5. Найти BC, если AB=3.

С учащимися обсуждаются основные моменты, им задаются вопросы:

- какие свойства параллелограмма вы знаете?

- почему рассматриваются два случая?

- как определить положение точек М и N на стороне ВС?

-как доказать, что биссектриса при пересечении с противоположной отсекает равнобедренный треугольник?

На доску проецируется правильное оформление задачи.

Решение. Пусть Е – точка пересечения биссектрис, ВМ = х, MN = у. так как , то точка М лежит между точками В и N, в противном случае MN меньше 5 BM.

Возможны два случая:

рис.1

1 случай: точка Е – лежит внутри параллелограмма ABCD(рис. 1).

Исходя из свойства биссектрисы параллелограмма, получим, что ABN и MCD равнобедренные. Следовательно х + у= NC +у = 3, следовательно NC = х.

Так как , то у = 5х , а т. к. х + у =3, то х = , а у =, а ВС = 2х+у, ВС = .

рис. 2

2 случай: точка Е – лежит вне параллелограмма. (рис. 2). Тогда исходя из свойства биссектрисы ВМ=NC=3, а т. к. , то NM=15, тогда

ВС= 3+3+15=21.

ОТВЕТ: или 21.

Ответы на вопросы учащихся.

3. Актуализация проблемы.

А что произойдет, если в четырехугольнике провести все четыре биссектрисы? Давайте проведем практическую исследовательскую работу.

Ученикам предлагается с помощью чертежных инструментов построить биссектрисы всех углов в различных видах параллелограмма и сделать выводы:

I вариант- произвольный параллелограмм;

II вариант – ромб;

III вариант – квадрат;

IV вариант – прямоугольник;

Обсуждение результатов, полученных в ходе исследования:

I вариант- после гипотез, выдвинутых учащимися на доску проецируется рисунок № 1;

II вариант – рисунок № 2;

III вариант – рисунок № 3;

IV вариант – рисунок № 4;

Учащиеся в ходе выполнения практической исследовательской работы увидели, что биссектрисы смежных углов, проведенные в любом параллелограмме, пересекаются под прямым углом, а биссектрисы противоположных углов либо параллельны, либо совпадают.

- Мы рассмотрели частные случаи, а как доказать справедливость этих утверждений для произвольного параллелограмма?

Предлагаю вам доказать следующие дополнительные свойства биссектрис параллелограмма:

1. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой.

2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны.

3. При пересечении биссектрисы образуют прямоугольник.

Учащиеся совместно с учителем проводят доказательство.

1) Доказательство:

Рассмотрим ABCD – параллелограмм. IAD=BCF по условию. Следовательно IAD=CFD. Значит прямые AI и FC параллельны по второму признаку параллельности прямых (через соответственные углы).

Рассмотрим ABCD – параллелограмм. ADS=GBC по условию. Так как BС параллельно AD, то GBC=AGB, следовательно AGB=ADS. Значит прямые BG и SD параллельны по второму признаку параллельности прямых (через соответственные углы).

Рассмотрим HKLM-четырёхугольник. Так как AI параллельна FC то HK параллельно ML и BG параллельны SD, то HM параллельно KL. Следовательно HKLM – параллелограмм.

2) Доказательство:

BHA=KHM=90°. Так как HKLM – параллелограмм, то KHM=KLM=90°и HML=HKL. Из выше доказанного прямые BG и SD параллельны, значит сумма односторонних углов равна 180°, поэтому HKL=180°-KHM=180°- 90°=90°. Следовательно HML=90°.

3) Так как все углы прямые, то HKLM- прямоугольник.

А теперь посмотрим, как полученные знания можно применить в ходе решения задач.

Учащимся предлагается решить следующую задачу:

В параллелограмме со сторонами а и b и острым углом α проведены биссектрисы четырех углов. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного этими биссектрисами.

(Ответ: S=(a-b)²sinα).

Учащиеся обсуждают основные этапы решения задачи, выполняют чертеж.

При рассмотрении данной задачи можно выделить следующие моменты:

1. Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает на противоположной стороне отрезок, равный боковой стороне.
2. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны.
3. Ключевой факт. В параллелограмме биссектрисы его внутренних углов, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Дома необходимо довести данную задачу до явного вида.

4. Итог урока.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Сборник тестов ЕГЭ - 2009., Ростов – на – Дону, Легион, 2009;

2. Атанасян Л. С., Геометрия 7 – 9 классы, Москва, Просвещение, 2009 год.