Конспект урока «Арксинус. Арккосинус» по математике для 10 класса

Чапайкина Алевтина Ивановна,

учитель математики Вятской гуманитарной гимназии

с углубленным изучением английского языка г. Кирова

Конспект урока математики в 10 классе по теме «Арксинус. Арккосинус»

I. Организация начала занятия.

Подготовка учащихся к работе на уроке: настрой на быстрое их включение в деловой ритм.

II. Актуализация прежних знаний и способов действий.

Подготовка к основному этапу занятия: проверяется готовность учащихся к активной учебно-познавательной деятельности на основе ранее полученных знаний по тригонометрии, Созданием проблемной ситуации обеспечивается мотивация необходимости получения дополнительных знаний и принятие учащимися цели учебно-познавательной деятельности на данном уроке.

На предыдущих уроках были сформированы прочные навыки работы с тригонометрическим кругом (это подтверждается успешным выполнением задания № 1), что позволило разнообразить упражнения в решении тригонометрических уравнений: кроме простейших sin x = 1, cos x = 0 и т.п., решали, например, уравнения sin x = , а также сводящиеся к ним более сложные тригонометрические уравнения (квадратные, требующие разложения на множители). Решения таких уравнений находились с помощью тригонометрического круга (без применения общих формул, так как они еще не выведены). Задание № 2 на первый взгляд ученикам знакомо и они знают, как его решать…

№ 1. Изобразите на единичной окружности точки, соответствующие всем таким углам α, для каждого из которых справедливо равенство:

,

Запишите эти углы.

№ 2. Решите уравнения: а) 3 sin²x – 5 sin x + 2 = 0; б) 3 cos²x – 7 cos x + 2 = 0

(два человека решают «за доской» для последующей проверки,
класс решает по вариантам: первый – (а), второй – (б))

Решение заданных уравнений не вызывает трудностей, т.к. на предыдущих уроках приходилось решать подобные уравнения, но с «хорошими» значениями корней соответствующего квадратного уравнения. В данном случае впервые получили корни в уравнении (а) ; а в уравнении (б) Решения уравнений находились с помощью тригонометрического круга, на котором мои ученики очень хорошо ориентируются. Но здесь возникла проблема: дети в замешательстве – точку на круге отметить могут, а решение записать не получается! И у доски, и в классе – волнение.

Прихожу на помощь: Молодцы! Вы верно решаете уравнения, осталось только записать ответ…

Ученики рассуждают: В первом уравнении sin x = 1, во втором уравнении получили cos x = 2 – решений нет, т.к. . Но значения и

существуют и соответствующие точки можно отметить на единичном круге!

Напоминаю как в свое время вводилось понятие иррационального числа (графически решали уравнение х² = 7 и тоже получали, что точку на оси абсцисс отметить было можно, а число, квадрат которого равен 7 назвать не могли…)

Ученики предлагают: надо ввести новый символ, которым бы обозначили числа, соответствующие полученным точкам, т.е. число, синус которого равен или косинус которого равен .

Поддерживаю: к сожалению, символа нет, но число, синус которого равен - это арксинус (записываю на доске: arcsin ). Арксинус (от лат. arcus – дуга, имеется в виду дуга окружности, на которую опирается соответствующий центральный угол).

Ученики догадываются: значит, число, косинус которого равен - это арккосинус !

Прошу сформулировать цель урока. Отвечают: дать определение арксинуса числа а, арккосинуса числа а, научиться их применять и закончить решение уравнений (а) и (б).

III. Формирование новых знаний и способов действий.

Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания знаний и способов действий с новыми понятиями тригонометрии. Стимулирование активных действий учащихся по открытию новых знаний; максимальное использование самостоятельности в добывании знаний и овладении способами действий с арксинусом и арккосинусом.

Предлагаю ученикам самим дать определение арксинуса а. Вариант ответа ожидаем: «Арксинусом числа а, называется угол, синус которого равен а». Тогда прошу найти значения . Отвечают правильно: , проговаривая каждый раз, что - это угол, синус которого равен и т.д. Тогда обращаю внимание учеников на точки, отмеченные ими в начале урока – замечают, что число, синус которого равен , не единственное! Так что же считать за :

Помогаю: надо ввести ограничения для значений arcsin a; напоминаю, что когда вводили определение арифметического квадратного корня, его определяли как «неотрицательное число…», а при решении уравнений, например х² = 7, считали, что один из корней , а другой – число противоположное, т.е. (- ).

Догадываются очень быстро: . На вопрос, почему выбрали именно этот промежуток, отвечают, что на нем «синус пробегает все свои возможные значения: от – 1 до 1».

Предлагаю уточнить данное ранее определение: «Арксинусом числа а, называется угол из промежутка , синус которого равен а».

Задаю еще вопрос: чему равен (среагировали: не существует, т.к. ). Делаем вывод – значения, которые может принимать а, надо ограничить. Новый вариант определения арксинуса дополняется замечанием о том, что .

Еще раз повторяем определение: «Арксинусом числа а (), называется угол из промежутка , синус которого равен а» и выполняем запись в тетради:

Арксинус

Подчеркнем, что для любого числа а такого, что:

1) , существует, и притом единственный, арксинус этого числа;

2) , арксинус этого числа не существует, поэтому запись arcsin a для такого а не имеет смысла.

После повторения определения арксинуса числа а, прошу ребят самостоятельно заполнить вторую часть таблицы и сформулировать определение арккосинуса числа а.

Арксинус

Заполняя ячейку таблицы, учащиеся могут совещаться друг с другом (работать в парах).

По завершении работы ученики дают определение арккосинуса и поясняют записи в таблице.

IV. Первичная проверка понимания нового материала

Установление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала; выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция. Ликвидация типичных ошибок и неверных представлений у учащихся.

1. Изобразите на единичной окружности точки, соответствующие углам:

Решение:

Выберем для единичной окружности радиус в3 клетки. Углы α и β принадлежат промежутку , причем Углы γ и φ принадлежат промежутку , причем

На рисунке отмечаем точки, соответствующие углам α, β, γ и φ.

2. Какие из данных выражений не имеют смысла: ?

3. Вычислите:

V. Закрепление новых знаний и способов действий

Обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения в измененной ситуации. Самостоятельное выполнение заданий, требующих применения знаний в знакомой и измененной ситуации.

С помощью единичной окружности особо рассматриваем случаи вычисления arcsin a и arccos a, когда -1 а

Для отработки навыков и их закрепления выполняются упражнения (самостоятельно с последующей проверкой):

4. Вычислите:

При вычислениях ребята каждый раз проговаривали: « (например) – это угол, синус которого равен одной второй», при этом схема была записана на доске:

Эта схема помогает учащимся быстро усвоить новые понятия.

VI. Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков

Формирование целостной системы ведущих знаний по основам тригонометрии посредством связи новых с ранее полученными и сформированными. Активная и продуктивная деятельности учащихся по включению части в целое.

• И вот настало время вернуться к уравнениям, с решения которых начался урок.

Напоминаю детям, что ответ ни в одном из уравнений окончательно не записан. К доске выходят ученики, начинавшие их решать (решение сохранено на откидных досках).

(а) 3 sin²x – 5 sin x + 2 = 0

sin x = 1, - эта группа корней уже записана,

с помощью единичного круга находятся решения ; и ;

(б) 3 cos²x – 7 cos x + 2 = 0

, – завершил решение другой ученик, также с помощью единичной окружности.

На местах учащиеся завершают решение уравнений самостоятельно с последующей проверкой.

VII. Первичное подведение итогов и результатов урока

Формулирую основные цели урока, которые ребята определили для себя сами:

дать определение арксинуса числа а, арккосинуса числа а и научиться их применять.

Предлагаю выяснить, привела ли работа на уроке к достижению цели:

• прошу сформулировать определение арксинуса и арккосинуса (с опорой на таблицу),

• по рисунку 1 (он сохранен на доске) прошу назвать, чему равны углы α, β, γ и φ (как арксинус и как арккосинус),

• предлагаю вычислить и .

В результате делается первоначальный вывод о том, что цели, которые учащиеся ставили перед собой в начале урока, достигнуты. Для окончательного вывода предлагаю проверочную работу. Цель этой работы – определение зоны актуального и ближайшего развития учащихся.

VIII. Диагностика прочности усвоения новых знаний

Выявление качества и уровня овладения знаниями и способами действий, обеспечение их коррекции. Получение достоверной информации о достижении всеми учащимися планируемых результатов обучения.

Планируемые результаты: задания 1-2 выполнят все – именно такие задания выполнялись в течение урока; с заданиями 3 и 4 справится половина группы (как минимум), так как это упражнения на применение новых знаний в измененной ситуации. Результат выполнения заданий 3-4 определит учебные задачи на следующий урок.

1 вариант

Так как в группе всего 10 человек, у учителя есть возможность проверить и проанализировать выполненную самостоятельно работу на заключительном этапе урока.

IX. Подготовка, необходимая учащимся для постановки очередной учебной задачи

Получение учащимися информации о реальных результатах усвоения нового материала по итогам проверочной работы. Дается анализ и оценка успешности достижения цели и намечается перспектива последующей работы.

Фактические результаты совпали с планируемыми: задания № 1-2 выполнены верно всеми учащимися, в задании № 3 не вызвали затруднения примеры (а) и (б), догадались как решить пример (в) – 7 человек (молодцы!), в № 4 не вызвали затруднения у всех 10 учащихся задания (а) и (г). Несколько человек сделали попытки решить примеры (б) и (в), но знаний, полученных на прошедшем уроке, не хватило. Это и определило учебную задачу на следующий урок.

X. Подведение итогов урока. Рефлексия

Анализ соответствия результатов урока поставленным целям: что и почему получилось,

почему не получилось, в чем испытали затруднения, почему допустили ту или иную ошибку.

Цель урока достигнута.

XI. Инструктаж по выполнению домашнего задания

Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания. Реализация необходимых и достаточных условий для успешного выполнения домашнего задания всеми учащимися в соответствии с актуальным уровнем их развития.

Общее задание: № 569 (2; 4), 576 (2; 4), 593 (2; 4; 6), 596 (2) – учебник «Алгебра и начала

анализа, 10-11» под ред. Алимова Ш.А.

Для желающих: попытаться решить те примеры из № 3 и № 4 проверочной работы,

которые не получились в классе.