МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ В ГЕОМЕТРИИ

Бруханская Елена Александровна

учитель математики

МБОУ «Сиверская средняя общеобразовательная школа № 3»

п. Сиверский Гатчинского р-на Ленинградской обл.

Предмет (направленность): практико – ориентированное занятие по геометрии

Возраст детей: 10 – 11 класс

Место проведения: учебный кабинет

Аннотация

В современном обществе все более актуальной становится проблема создания условий для успешного профессионального самоопределения выпускников средних общеобразовательных учебных заведений.

Организацией Экономического Сотрудничества и Развития реализуется Международная программа, в ходе которой проводится исследование – «Обладают ли учащиеся 15-летнего возраста, получившие общее обязательное образование, знаниями и умениями, необходимыми им для полноценного функционирования в обществе?». Исследование направлено на оценку способности учащихся применять полученные в школе знания и умения в жизненных ситуациях.

По итогам этих исследований выявлено, что «российские школьники испытывают серьезные затруднения в применении знаний в ситуациях, близких к повседневной жизни, а также к работе с информацией, представленной в различной форме…». Россия заняла 28 место среди 32 стран участниц программы. Выводы, сделанные на основе результатов исследования, получили подтверждение и в результатах всероссийских исследований качества образования, и в результатах единого государственного экзамена.

Методическая информация

Тип занятия: внеклассное практико – ориентированное

Цели занятия: формирование умений решать практико-ориентированные задачи и умений формулировать прикладные задачи

Знания, умения, навыки и качества, которые приобретут ученики в ходе занятия: сформированность умений, приобретаемых учащимися при решении подобных задач, позволяет им самостоятельно ставить задачи прикладного и профессионального характера, анализировать результаты решения в зависимости от направления корректировки условия задачи, что, несомненно, важно в процессе реализации практико-ориентированного обучения математике.

Необходимое оборудование и материалы

ТСО: проектор, презентация к занятию.

Раздаточный материал.

Подробный конспект урока

Мотивация учащихся

Здравствуйте! Я рада приветствовать вас на уроке, в ходе которого будет показана возможность применения геометрического материала в задачах практического содержания.

Каждый из вас, наверняка, не один раз задавался вопросом: «А зачем я хожу в школу?». Ответы на этот вопрос могут быть самыми разными, объединяет их одно - школа дает общее образование, важное и значимое, направленное на раскрытие ваших способностей. Именно поэтому, вы, шестнадцатилетние, находясь на пороге взрослой жизни, уже сейчас можете сделать один из своих главных выборов – выбор Жизненного Пути. Процесс этот сложный и длительный и задача каждого учителя оказать вам поддержку. Каждого учителя, в том числе учителя математики, ведь многочисленные математические закономерности, изучаемые в школе, широко используются в конкретных производственных процессах, поэтому процесс профессионального самоопределения просто не мыслим без опоры на математические знания.

Ход и содержание занятия

Для того, чтобы сегодняшний урок прошел успешно, мне необходимо знать круг ваших интересов. На ваших столах лежат тесты. Подпишите их. Я прошу вас, внимательно изучить инструкцию и выполнить задание (приложение 2).

Во все времена привлекали внимание ученых экстремальные задачи на максимум и минимум. Потому что большинство экстремальных задач, ложащихся на стол ученого, приходит из практики. Максимумы и минимумы постоянно возникают в инженерных расчетах, в архитектуре, экономике, да и в повседневной жизни…

Например, рассмотрим такую ситуацию. Жители деревень Веники, Мочалкино и Лейкино в течение нескольких лет не могут решить вопрос: в каком месте нужно построить баню, чтобы общее расстояние, которое придется пройти всем жителям деревень до нее, было наименьшим.

Чтобы решить практическую задачу надо перевести ее на математический язык, т. е. выделить ис­ходные данные и сформулировать цель исследования.

Какие исходные данные можно выделить в этой задаче?

Какую величину мы будем исследовать?

Итак, мы получили следующую геометрическую задачу:

На плоскости даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Для какой точки Т плоскости сумма расстояний АТ + ВТ + СТ будет наименьшей?

Решение.

Для решения этой задачи выполним поворот треугольника АТС вокруг точки А на 60º. При этом точка А останется на месте, точка С перейдет в некоторую точку D, а точка Т – в точку N. Таким образом, треугольник АТС перейдет в равный ему треугольник AND, значит CТ = ND, АN = AT в треугольнике ANT, ТАN = 60º, значит треугольник ANT – равносторонний, поэтому АТ = ТN.

В сумме, для которой мы ищем наименьшее значение, заменим отрезки ВТ и СТ, равными им отрезками TN и ND. Полученная сумма выражает сумму длин звеньев ломаной BTND. В каком случае

значение эта суммы будет наименьшей?

Очевидно, что наименьшее значение эта сумма имеет, если она равна длине отрезка BD, что достигается, когда точки B, T, N и D лежат на одной прямой (в указанной последовательности).

Эта точка имеет несколько названий: точка Ферма, точка Торичелли, точка Штейнера.

Практический способ построения точки: на сторонах треугольника во внешнюю его область построим правильные треугольник и соединим отрезками каждую вершину исходного треугольника с вершиной правильного треугольника, построенного на противоположной стороне.

Проверка и оценивание ЗУНКов

Возьмите второй рабочий лист (приложение 4). Я предлагаю вам выполнить построение и провести исследование, по результатам которого мы сможем выдвинуть гипотезу о возможности построения точки Торичелли.

Учащиеся проводят исследование и озвучивают результаты, которые заносятся в таблицу (приложение 5).

Вывод: треугольник имеет точку Торичелли тогда и только тогда, когда все его углы меньше 120º.

Итак, думаю, что жители деревень Мочалкино, Лейкино и Веники давно бы мылись в бане, если бы в свое время научились использовать математические знания на практике.

Рефлексия деятельности на уроке

Надеюсь, что несколько легкомысленный сюжет про баню не создаст у вас неверного впечатления. Ведь знания, полученные на сегодняшнем уроке, помогут вам решать довольно серьезные практические задачи.

Результаты теста говорят о том, что профессиональные предпочтения у вас разные. Сейчас вы получите возможность сделать свои первые шаги в применении математических методов при решении задач, связанных с вашей возможной будущей профессией.

Все профессии можно разделить в зависимости от особенностей предмета труда на пять типов. В соответствии с вашим выбором, я разобью вас на группы (приложение 1).

Тип профессий (перечислить) предпочли (перечислить фамилии учащихся). Займите, пожалуйста, свое место.

Каждой группе нужно будет проделать определенную работу (приложение 3):

1. Выбрать профессию, соответствующую своему типу.

2. Кратко описать выбранную профессию.

3. Придумать задачу, характерную для выбранной профессии.

4. Сделать вывод о необходимости знаний, которые вы сегодня получили в выбранной профессии.

Домашнее задание

Придумать ситуацию, связанную с профессиональной деятельностью родителей, в которой нужны были бы знания, полученные на занятии.

Заключение

Леонард Эйлер, один из величайших математиков, говорил: «В мире не происходит ничего, в чем не был виден смысл какого – нибудь максимума или минимума». Уверена, что мне удалось убедить вас, что окружающий мир устроен по экстремальным законам, а задачи, которые мы решаем на уроках математики являются их отражением. Для решения этих задач необходимо обладать дерзостью ума и желанием исследовать. Я желаю вам дальнейших успехов в развитии этих качеств. Спасибо за урок.

Приложение 1 (результаты обработки теста)

ТИП ПРОФЕССИЙ

Приложение 2 (Методика Е.А. Климова, тест "Определение типа будущей профессии")

Приложение 3 (примерные образцы клише для работы в группах)

1. Тип профессий «Человек – природа».

2. Профессия - Дизайнер

Дизайнер принимает участие в разработке и проектировании ландшафта участка.

3. Задача: На садовом участке __________________________.

Где необходимо построить _______________, чтобы расходы на обустройство ____________________, были минимальными.

4. Мы считаем, что задача на построение точки Торричелли (имеет, не имеет) практическое применение для профессии дизайнера.

1. Тип профессий «Человек – знаковая система».

2. Бухгалтер

Любое предприятие приобретает оборудование, расходует денежные средства. Бухгалтер должен в этом хорошо разбираться и строго следить за тем, чтобы не потерялась ни одна копейка.

3. Задача: В местах А, В, С добываются ________________, потребляемые на центральной станции Р. Где следует построить Р, чтобы ______________________________ доставки грузов из А, В, С в пункт Р была наименьшей?

4. Мы считаем, что задача на построение точки Торричелли (имеет, не имеет) практическое применение для профессии бухгалтера.

1. Тип профессий «Человек – человек».

2. Экскурсовод  

Экскурсовод проводит экскурсии по музеям, выставкам, заповедникам. Сопровождает группы экскурсантов в поездках, в том числе длительных.

3. Задача: Во время экскурсии по городу ___________________ запланировано посещение Эрмитажа, Русского музея и Петропавловской крепости. Какое _____________ нужно выбрать экскурсоводу, чтобы дорога, которую пройдут экскурсанты, на завтрак, обед и ужин, занимала как можно _______________ времени.

4. Мы считаем, что задача на построение точки Торричелли (имеет, не имеет) практическое применение для профессии экскурсовода.

1. Тип профессий «Человек – техника».

2. Водитель троллейбуса

Обязанность водителя — точно по графику и безопасно доставлять пассажиров или груз в места назначения.

3. Задача: Где спланировать водителю место отдыха, чтобы расходы на ____________________ были минимальными, если с трех баз нужно доставить ______________________?

4. Мы считаем, что задача на построение точки Торричелли (имеет, не имеет) практическое применение для профессии водителя.

1. Тип профессий «Человек - художественный образ».

2. Художник – реставратор

В функции реставратора входит не только восстановление картин, но и умелое и бережное их хранение, правильная их упаковка и перевозка

3. Задача:

Художник – реставратор должен забрать для реставрации __________________ из трех музеев. В какой гостинице ему следует остановиться, чтобы как можно меньше перемещаться с картинами по городу?

4. Мы считаем, что задача на построение точки Торричелли (имеет, не имеет) практическое применение для профессии художника - реставратора.

Приложение 4 (карточки для математического исследования)

Приложение 5 (таблица для результатов исследования)

Цель исследования: возможность построения точки Торричелли

Ход работы:

1. Изобразите треугольник

2. Измерьте углы треугольника, занесите данные в таблицу

3. Выполните необходимые построения и сделайте вывод

Углы

треугольника

ЛИТЕРАТУРА И ССЫЛКИ

1. Владимир Юрьевич Протасов. Максимумы и минимумы в геометрии. (Серия: ), 2005

2. Методика Е.А. Климова, тест "Определение типа будущей профессии", http://www.fpo.ru/tests/metodika_prof.html.