Презентация "Расстояния в пространстве" – проект, доклад

Расстояния в пространстве

Использованы материалы методического журнала «Математика» №17

Разработчики: Киншт М., Тропина А. – лицеисты группы 11-2 Инженерного лицея НГТУ Февраль 2012г

Цель занятия: научиться находить расстояния: -между точками; -от точки до прямой; -от точки до плоскости; -между скрещивающимися прямыми.

Для успешного решения задач повторите определения указанных расстояний и следующие теоремы: - о перпендикулярности прямой и плоскости, - о перпендикулярности плоскостей, - о трех перпендикулярах, - о перпендикулярности двух параллельных прямых плоскости, о параллельности двух прямых, перпендикулярных одной плоскости, о параллельности прямой и плоскости, о параллельности плоскостей. Повторить определения и теоремы можно по любому учебнику геометрии (стереометрия) для 10-11 классов.

Простейшие задачи

Задача №1

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2. Найти расстояние между точками В1 и М, где М – середина ребра АD.

Решение:

1) Соединим точки В1 и М и спроецируем отрезок МВ1 на плоскость АВС (АВСD).

2)Получим прямоугольный треугольник ВАМ ( А=90 °, т.к. в основании квадрат)

3) Применим теорему Пифагора к треугольникам ВАМ и В1ВМ:

Ответ: 3.

Задача №2

Ребро куба АВСDA1B1C1D1 равно 2. Найти расстояние от точки D1 до прямой АС.

1)Проведем диагонали куба и обозначим точку их пересечения через О.

2) Соединим точку D1 с точками А,С ( точки А и D1 Є плоскости АА1D1D, точки С и D1 Є плоскости D1DCC1)

3)Соединим точки D1 и О.

Задача №3

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2. Найти расстояние от точки М, середины ребра СC1, - до плоскости DBB1.

1)AC перпендикулярна плоскости BDD1В1

2)В плоскости CAA1C1 проведем MO2IIAC. MO2 перпендикулярна BDD1. Следовательно MO2 – искомое расстояние.

Задача №4

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2. Найти расстояние между прямыми D1C и AA1

1)D1C и AA1 – скрещивающиеся прямые( по определению: две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости)

2)AD перпендикулярна АА1 (т.к. у куба все углы прямые)

3)AD перпендикулярна плоскости DD1C1C (т.к. AD перпендикулярна DD1, DD1 принадлежит плоскости DD1C1C)

4)AD перпендикулярна С1D1 ( по свойству параллельных прямых( AD перпендикулярна CD, CDIIC1D1))

5)AD – искомое расстояние.

Ответ: AD=2

Типичные задачи из части С2 ЕГЭ

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны1. Найти расстояние от точки С1 до ВD1.

Из точки С1 проведем перпендикуляр к прямой BD1. СН – искомое расстояние.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки В1 до плоскости А1ВС1.

1) Проведем из точки В1 прямую, перпендикулярную плоскости А1ВС1 (В1О)

Задачи для самостоятельной работы

1)В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 1. О1-точка пересечения диагоналей верхней грани. Найти расстояние от О1 до прямой ВС.

2) В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 1. Найти расстояние от точки М – середины ребра ВВ1 – до плоскости АСС1.

3) В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 на диагоналях граней AD1 и D1B1 взяты точки Е и F так, что Найти длину отрезка EF.

4) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 2. Найти расстояние от точки С до прямой E1F1.