Презентация "«Подобные треугольники»" (8 класс) по математике – проект, доклад

Подобные треугольники

Приготовили ученицы 8 а Исламова Вероника, Платова Валерия, Хамидуллина Алина, Козлова Екатерина, Селезнева Елена.

5klass.net

Оглавление

Определение подобных треугольников

Признаки подобия треугольников

Применение подобия к доказательству теорем и задач

Соотнашение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

1.1. Пропорциональные отрезки. 1.2. Определение подобных треугольников 1.3. Отношение площадей подобных треугольников. 1.4. Свойства подобия.

1.1 Пропорциональные отрезки.

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, т. е. Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, если ПРИМЕР №1. Отрезки AB и CD, длины которых равны 2 см и 1см, пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1,отрезки которых равны 3см и 1,5см. В самом деле,

1.2. Определение подобных треугольников.

В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный и теннисный мячи, круглая тарелка и большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются любые два квадрата, любые два круга. Введем понятие подобных треугольников.

ПОДОБИЕ, геометрическое понятие, характеризующее наличие одинаковой формы у геометрических фигур, независимо от их размеров. Две фигуры F1 и F2 называются подобными, если между их точками можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором отношение расстояний между любыми парами соответствующих точек фигур F1 и F2 равно одной и той же постоянной k, называемой коэффициентом подобия. Углы между соответствующими линиями подобных фигур равны.

Подобные фигуры F1 и F2.

Задача№1. Пусть у двух треугольников ABC и A1B1C1 соответственно равны: A= A1, B= B1, C= C1. В этом случае стороны AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 называются сходными.

А B C А1 B1 C1

AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1- сходственные стороны

Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Другими словами, два треугольника подобны, если их можно обозначить буквами ABC и A1B1C1 так, что A= A1, B= B1, C= C1, Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.

Подобие треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так : Нажмите сюда и увидите подобные треугольники

1.3. Отношение площадей подобных треугольников.

Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Доказательство. Пусть треугольники ABC и A1B1C1 подобны и коэффициент подобия равен k. Обозначим буквами S и S1 площади этих треугольников. Так как A= A1, то

По формулам имеем: поэтому Теорема доказана.

Свойства подобия.

Задача №2. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника Решение. Пусть AD – биссектриса треугольника ABC. Докажем, что Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту AH, поэтому

1 2 A H D

С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу( A= A1), поэтому Из двух равенств для отношений площадей получаем , или Что и требовалось доказать.

Первый признак Второй признак Третий признак

Теорема: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

А= А1 В= В1 АВС А1В1С1

Доказательство: По теореме о сумме углов: С = 1800 - А - В, а С1 = 1800 - - А 1- В1 ,значит С= С1. Так как А= А1 и С= С1, то и От этого следует: Получается, что сходственные стороны пропорциональны.

Дано: АВС и А1В1С1 А= А1 В= В1 Доказать: АВС А1В1С1

С В В1 С1

Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

АВС2 А1В1С1(по первому признаку) ,значит , с другой стороны ,из этих равенств получается АС= =АС2. АВС= АВС2 -по двум сторонам и углу между ними (АВ-общая сторона, АС=АС2 и ,т.к. и ).Значит и , то

Дано: АВС и А1В1С1 Д-ть:

Доказательство: Рассмотрим АВС2, у которого и

Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобные.

Доказательство: Рассмотрим АВС2, у которого и .

АВС2 А1В1С1(по первому признаку) ,значит

и АВС= АВС2 значит , а так как , то Значит

Средняя линия треугольника

Медианы в треугольнике

Высота в треугольнике

Среднее пропорциональное

Следствие 1 Следствие 2

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Дано: АВС МN – средняя линия Доказать: МN //АС и MN=1/2AC

Доказательство: ВМN и ВАС – подобны, так как В – общий BM:ВА=ВN:BC=1:2 Значит ВMN = BAC и MN/АС = 1/2 То MN//АС и MN = ½ Теорема доказана.

Меридианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую меридиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: АВС т.О – пересечение медиан ВВ1 и АА1 Доказать:

Доказательство: А1В1 – средняя линия, и А1В1//АВ, поэтому и Значит АОВ А1ОВ1(по двум углам),то Но АВ=А1В1, поэтому АО=2А1О и ВО=2В1О. Значит точка О- пересечение медиан АА1 и ВВ1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что точка О – пересечение медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Значит точка О – пересечения медиан АА1, ВВ1и СС1 делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному.

Н

Дано: АВС – прямоугольный СН – высота Доказать: АВС АСН АВС СВН АСН СВН

Доказательство: АВС АСН(по двум углам: А- как общий и прямым), АВС ВСН(по двум углам: В- общий и прямыми), Рассмотрим АСН и ВСН – прямоугольные 1) угол АНС = углу СНВ – прямые углы 2) угол А = углу ВСН Значит АСН ВСН.

Отрезок ХY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) между отрезками АВ и СД, если

Дано: АВС – прямоугольный СН – высота Доказать:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Доказательство: АНС СВН, поэтому

Следовательно СН2=АН*НВ Значит

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Доказательство: АВС АСН(по двум углам), поэтому

Синус Косинус Тангенс

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов.

Котангенс

Основные тригонометрические тождества.

Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

АВС – прям. Т.к. в с а

а=1 с=2

По теореме Пифагора :

Конец