Презентация "Арифметическая прогрессия" по математике – проект, доклад

Арифметическая прогрессия

Колобанова Г.И., МОУ «СОШ № 12», г. Анжеро - Судженск

9 класс

Устная работа

1. В последовательности (хn): 9; 7; 5; 3; 1; - 1; -3; … назовите первый, четвёртый, шестой и седьмой члены.

2. Последовательность (аn) задана формулой аn = 2n - 3. Найдите a1 а2 a5 а15 а50 аk.

3. Назовите пять первых членов последовательности (сn), если:

с1 = 4 Cn+1 = cn +3

Выявите закономерность и задайте последовательность рекуррентной формулой

1) 1, 3, 5, 7, 9, … 2) 2, 5, 8, 11, 14,… 3) 8, 4, 0, - 4, - 8, - 12, … 4) 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

an = a n -1 +2 an = a n -1 + 3 an = a n -1 + (- 4) an = a n -1 + 0,5

Изучение нового материала

an = an-1 + d

Определение арифметической прогрессии

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого числа d, называется арифметической прогрессией. Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность (an), заданная рекуррентно соотношениями:

a1 = a, an = an-1 + d (n = 2,3,4,…)

Разность арифметической прогрессии

Число d, на которое отличается каждый последующий член арифметической прогрессии, начиная со второго, от предыдущего члена, называется разностью арифметической прогрессии. d > 0 прогрессия возрастающая, d d = an – an-1

Задание арифметической прогрессии формулой n – ого члена

Дано: (аn) – арифметическая прогрессия, a1- первый член прогрессии, d – разность. a2 = a1 + d a3 = a2 + d =(a1 + d) + d = a1+2d a4 = a3 + d =(a1+2d) +d = a1+3d a5 = a4 + d =(a1+3d) +d = a1+4d . . . an = a1+ (n-1)d

an = a1+ (n-1)d

1. Известно, что а1 = 1, d = 3. Задайте эту прогрессию.

1; 4; 7; 11; 15; 19 ; …

Последовательность(аn) – арифметическая прогрессия, в которой а1 = 4; d = 2. Найдите 50-ый член этой прогрессии. a50 = 4 + 49·2 a50 = 102

Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an Sn = an + an-1 + an-2 + … + a3 + a2 + a1 Сложив эти два равенства, получим: 2Sn = (a1 + an) +( a2 + an-1 ) +( a3 + an-2 ) + … +( an-2 + a3 ) + + (an-1 + a2 ) +( an + a1). В правой части равенства n пар слагаемых, каждая пара равна a1 + an. Значит, 2Sn = n(a1 + an); S =

Иногда полезна видоизменённая формула суммы n членов арифметической прогрессии. Если в формуле для Sn учесть, что an =a1 + d(n-1), то получим:

Задача Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400м, а затем каждый следующий день поднимались на высоту на 100м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту 5000 м

Решение задачи

За первый день альпинисты поднялись на 1400 м, за второй 1300 м и.т.д.. Математической моделью является конечная арифметическая прогрессия, у которой a1 =1400 , d = - 100, Sn = 5000 Подставив данные в формулу найдём n – количество дней

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Пусть дана арифметическая прогрессия a1, a2, a3,…, an, … . Рассмотрим три её члена, следующие друг за другом: an-1, an, an+1. Известно, что an – d = an-1, an + d = an+1. Сложив эти равенства, получим: Это значит, что каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Задачи из вариантов ГИА

1) В арифметической прогрессии a1 = 3, d = - 1,5. Найдите наименьшее значение n, для которого выполняется неравенство an > - 6. 2) Укажите количество положительных членов арифметической прогрессии 84,1; 78,3; … . 3) Арифметическая прогрессия задана формулой n- го члена an = 4n + 1. Найти сумму членов арифметической прогрессии с двадцать пятого по пятидесятый включительно.

Итог урока

Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Приведите примеры. Что такое разность прогрессии, как ее вычислить? Каким свойством обладает арифметическая прогрессия?

Домашнее задание

Мордкович А.Г. п. 23 № 23.02(а,б), 23.08(а,б)