Презентация "Спорт" по математике – проект, доклад

Pitagoro Teorema

Paruošė: Jolita Mikulėnaitė 8A

Kas sukūrė Pitagoro teoremą?

Pitagoras Samietis(582 m. pr. m. e. – 496 m. pr. m. e.) – jonėnų mistikas, filosofas ir matematikas, religinio- mokslinio pitagorininkų sąjūdžio įkūrėjas. Jo vardas tradiciškai siejamas su Pitagoro teoremos suformulavimu.

Ką įrodo Pitagoro teorema?

Pitagoro teorema teigia, jog stataus trikampio statinių kvadratų suma yra lygi įžambinės kvadratui: A² + B² = C² Kai A ir B yra trikampio statinių ilgiai, o C -įžambinės ilgis.

Pitagoro teoremos įrodymai

Egzistuoja daugybė Pitagoro teoremos įrodymų. Šį, pasiūlė Leonardas Da Vinčis:

Paprasčiausias įrodymas

Šis įrodymas nereikalauja ploto sąvokos ir išvedamas vien tik iš aksiomų. Paimkime statųjį trikampį ABC su stačiu kampu C, iš kurio nuleiskime aukštinę CH į įžambinę AB. Trikampis ACH yra panašus į trikampį ABC pagal du kampus. Pagal tai ir trikampis CBH panašus į trikampį ABC. Tad: a/c = |HB| / a; b/c = |AH| / b Iš čia gauname a2 = c*|HB| b2 = c*|AH| Sudėję abi lygtis gauname: a2 + b2 = c*(|HB|+|AH|) = c2

Truputėlis istorijos

Teorema pavadinta graikų matematiko Pitagoro (569-475 m. pr.m.e.) vardu, tačiau ji jau anksčiau buvo žinoma babiloniečiams, indams, kinams. O seniausias išlikęs teoremos įrodymas Senovės Graikijoje yra Euklido „Pradmenyse”, o jos priskyrimas Pitagorui tėra tik rašiniuose, parašytuose praėjus 5 a. po Pitagoro mirties. M. Kantoras mano, kad Pitagoro teorema kraštinėms 3, 4 ir 5 buvo žinoma jau senovės Egipte apie 2000 m. pr.m.e. (pagal Berlyno muziejuje esantį papirusą nr. 6619, datuojamą 2000-1786 m. pr.m.e.). Kiek daugiau žinoma apie teoremą Babilone. „Plimpton 322″ molio lentelėje, datuojamoje maždaug 1790-1750 m. pr.m.e., t.y. valdant Hamurabiui, tekste pateikiama keletas užrašų, artimų Pitagoro trejetams.

Truputėlis istorijos(2)

Indijos „Baudhayana Sulba sutra”, datuojama kažkur 8-2 a. pr.m.e., pateikia Pitagoro trejetų sąrašą, teoremos formuluotę ir geometrinį jos įrodymą lygiašoniams trikampiams. „Apastamba Sulba sutra” (apie 600 m. pr.m.e.) pateikia skaitinį teoremos įrodymą panaudojant plotų paskaičiavimus. Gali būti, kad remiamasi ankstesnėmis tradicijomis. Žinoma anksčiau, tačiau išlikusi 1 a. pr.m.e. „Čou Pei Suan Čing ” pateikia Pitagoro teoremą su piešiniu (Kinijoje vadintoje Gougu teorema) trikampiui su kraštinėmis, lygiomis 3, 4 ir 5. Hanų dinastijos laikotarpiu (202 m. pr.m.e. - 220 m.) Pitagoro trejetas pateikiamas „Devyniuose matematikos skyriuose”, paminint ir stačiuosius trikampius.

Atvirkštinė Pitagoro teorema

Jei trikampio dviejų kraštinių ilgių kvadratų suma lygi trečiosios kraštinės ilgio kvadratui, tai tas trikampis yra status.

Statinis prieš 30° kampą

Jei stačiojo trikampio vienas kampas lygus 30°, tai prieš jį esantis statinis lygus pusei įžambinės. Jei trikampio vienas kampas yra C=90 laipsniu, o kitas kampas yra A=30 laipsniu, tai kraštinė a esanti priešais 30 laipsnių kampą yra dvigubai trumpesnė už ižambinę C, t. y. A=C/2. Pavyzdžiui, jei AC=1, tai AB=0,5. O kraštinė, esanti priešais kampą a.

Uždaviniai(1)

Trikampio dviejų trumpesniųjų kraštinių ilgiai decimetrais yra: 6 ir 8; a²=6² + 8² = 100; a=10dm 10 ir 24; a²=10² + 24² = 676; a=26dm 8 ir 15; a²=8² + 15² = 289; a=17dm 9 ir 40; a²=9² + 40² = 1681; a=41dm Kokie galėtų būti trikampio trečiosios kraštinės ilgiai sveikaisiais decimetrų skaičiais?

Uždaviniai(2)

Trikampio ABC dviejų kraštinių ilgiai yra: BC = 42mm; CA = 40mm AB² = BC² + CA²; AB² = 42² + 40² = 3364; AB = 58mm AB = 7.8cm; BC = 7.2cm CA² = AB² - BC²; CA² = 7.8² - 7.2² = 9; CA = 3cm BC = 15.4cm; CA = 7.2cm AB² = BC² + CA²; AB² = 15.4² + 7.2² = 289; AB = 17cm Koks turėtų būti trikampio trečiosios kraštinės ilgis, kad trikampis būtų status, o AB būtų įžambinė?

Uždaviniai(3)

Apskaičiuokite stačiojo trikampio įžambinės c ilgį, kai žinomi jo statinių a ir b centimetrais. a = 9; b = 12; c² = a² + b² = 225; c = 15cm a = 5; b = 12; c² = a² + b² = 169; c = 13cm a = 15; b = 8; c² = a² + b² = 289; c = 17cm a = 16; b = 30; c² = a² + b² = 1156; c = 34cm a = 2.4; b = 0.7; c² = a² + b² = 6.25; c = 2.5cm a = 6; b = 1.75 c² = a² + b² = 39.0625; c = 6.25cm

Uždaviniai(4)

Apskaičiuokite stačiojo trikampio statinio b ilgį, kai žinomas įžambinės c ilgis milimetrais. c = 17; a = 8; b² = c² - a² = 225; b = 15mm c = 25; a = 24; b² = c² - a² = 49; b = 7mm c = 29; a = 21; b² = c² - a² = 400; b = 20mm c = 3.4; a = 3 b² = c² - a² = 2.56; b = 1.6mm

Uždaviniai(5)

Stačiojo trikampio statiniai yra a ir b, o įžambinė yra c. Apskaičiuokite trikampio nežinomos kraštinės ilgį, kai: a = 5dm; b = 12dm; c² = a² + b² = 169; c = 13dm a = 4dm; c = 4.1dm; b² = c² - a² = 0.81; b = 0.9dm b = 2m; a = 1.5m; c² = a² + b² = 6.25; c = 2.5m b = 10cm; c = 50.5cm a² = c² - b² = 2450.25; b = 49.5cm

Uždaviniai(6)

Nustatykite ar trikampis yra status, jei jo kraštinių ilgis yra: 45, 28, 53 Taip, nes 45² + 28² = 53² 22, 20, 29 Ne, nes 22² + 20² nėra 29² 10, 24, 28 Ne, nes 10² + 24² nėra 28² 33, 56, 65 Taip, nes 33² + 56² = 65²

Uždaviniai(7)

Trikampio įžambinės ilgis yra 26m, o trumpesniojo statinio – 10m. Raskite kito trikampio statinio ilgį. AC = 26m; CB = 10m; AB = ? AB² = AC² - CA² AB² = 26² - 10² = 676 – 100 = 576 AB = 24m Ats.: AB = 24m

Uždaviniai(8)

Trikampio įžambinės AC ilgis yra 24m.

Uždaviniai(9)

Nustatykite ar trikampis yra status, jei jo kraštinių ilgiai centimetrais yra: 24, 32, 40 Taip, nes 24² + 32² = 40² 14, 48, 50 Taip, nes 14² + 48² = 50² 7, 24, 30 Ne, nes 7² + 24² nėra 30² 13, 84, 85 Taip, nes 13² + 84² = 85²

Uždaviniai(10)

Trikampio dviejų ilgesniųjų kraštinių ilgiai milimetrais yra: 36 ir 39; a² = c² - b² = 225; a = 15mm 45 ir 53; a² = c² - b² = 784; a = 28mm 55 ir 73; a² = c² - b² = 2304; a = 48mm 99 ir 101 a² = c² - b² = 400; a = 20mm Koks turi būti šio trikampio trečiosios kraštinės ilgis, kad trikampis būtų status?