Презентация "Статистическая гипотеза" по математике – проект, доклад

Статистическая гипотеза

Любое утверждение о виде или свойствах закона распределения наблюдаемых случайных величин Всякий раз предполагаем, что у нас имеются две взаимоисключающие гипотезы: основная и альтернативная

Нулевой (основной) гипотезой - H0 называют какое-либо конкретное предположение о теоретической функции распределения или предположение, влекущее за собой важные практические последствия Альтернативная гипотеза H1 - любая гипотеза, исключающая нулевую

Задача проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы, используя статистические данные (выборку) X1, X2, …, Xn, принять или отклонить нулевую гипотезу

Нулевые и альтернативные гипотезы формулируются как утверждение о принадлежности функций распределения некоторой случайной величины определенному классу распределений

Гипотеза называется простой, если соответствующий класс распределений содержит лишь одно распределение, в противном случае гипотеза будет сложной. Гипотезы о параметрах распределений называются параметрическими

значение которой для заданной выборки служит основанием принятия или отклонения основной гипотезы

Статистикой критерия называется функция от выборки

Статистический критерий - правило, позволяющее только по результатам наблюдений X1, X2, …, Xn принять или отклонить нулевую гипотезу H0

Каждому критерию отвечает разбиение области значений статистики критерия на две непересекающихся части: критическую область 1 область принятия гипотезы 0

Критические области

Двусторонняя

Неправдоподобно маленькие значения

Неправдоподобно большие значения

Приемлемые значения

Если значение статистики критерия попадает в область принятия гипотезы 0 , то принимается нулевая гипотеза, в противном случае она отвергается (принимается альтернативная гипотеза)

Задать статистический критерий значит: задать статистику критерия задать критическую область

В ходе проверки гипотезы H0 можно прийти к правильному выводу, либо совершить два рода ошибок: ошибку первого рода -- отклонить H0, когда она верна ошибку второго рода -- принять H0, когда она не верна.

Так как статистика критерия

есть случайная величина со своим законом распределения, то попадание её в ту или иную область характеризуется соответствующими вероятностями: вероятностью ошибки первого рода  вероятностью ошибки второго рода 

Ошибку первого рода  ещё называют уровнем значимости критерия. Часто пользуются понятием мощности критерия W -- вероятности попадания в критическую область при условии справедливости альтернативной гипотезы

В общем случае вводят функцию мощности

При разработке статистического критерия невозможно одновременно минимизировать обе ошибки. Поэтому поступают следующим образом: при заданном числе испытаний n устанавливается верхняя граница для ошибки первого рода  Выбирается тот критерий, у которого наименьшая ошибка второго рода.

Распределение статистики критерия для нулевой и альтернативной гипотез (односторонний критерий)

Уровень значимости  устанавливается из значений следующего ряда: 0.05, 0.01, 0.005, … события с такими вероятностями считаются практически невозможными. Допустимая величина уровня значимости определяется теми последствиями, которые наступают после совершения ошибки.

Примеры формулировок статистических гипотез

Гипотеза о виде распределения: произведено n независимых измерений случайной величины с неизвестной функцией распределения F(x). Следует проверить гипотезу:

Гипотеза однородности

Произведено k серий независимых испытаний

Можно ли с достаточной надежностью считать, что закон распределения наблюдений от серии к серии не менялся? Если это так, то статистические данные однородны. Проверяется гипотеза однородности:

Гипотеза независимости

Наблюдается двухмерная случайная величина  = (1, 2) с неизвестной функцией распределения F (x, y) и есть основания полагать, что компоненты 1, 2 -- независимы. В этом случае проверяется гипотеза независимости:

1 шаг – выдвигается основная гипотеза H0 2 шаг – задается уровень значимости α 3 шаг – задается статистика критерия T(X) с известным законом распределения

Пять шагов проверки гипотезы

4 шаг – из таблиц распределения статистики критерия находятся квантили, соответствующие границам критической области 5 шаг – для данной выборки рассчитывается значение статистики критерия

Если значение статистики критерия попадает в область принятия гипотезы, то нулевая гипотеза принимается на уровне значимости α. В противном случае принимается альтернативная гипотеза (отвергается нулевая гипотеза)

Среди критериев выделяются такие, которые улавливают любые отклонения от нулевой гипотезы. Они называются « критерии согласия »

Критерий согласия Колмогорова

Применяется для проверки гипотезы о виде распределения

При условии, что теоретическая функция распределения непрерывная и полностью определена

За меру близости распределений принимается максимальное отклонение эмпирической функции распределения Fn(x) от теоретической F(x).

Распределение статистики Колмогорова не зависит от F (x). При больших n оно стремится к распределению Колмогорова.

Статистика критерия

Критерий согласия χ2 Пирсона (хи-квадрат) Первоначально разработан для дискретных распределений

Простейшие параметрические гипотезы

Гипотезы о среднем значении гауссовской случайной величины Гипотезы о сравнении дисперсий