Конспект урока «Методы использования ограниченности функций» по математике для 11 класса

Тема: Методы использования ограниченности функций.

Жизнь хороша тем, что в ней

можно заниматься математикой.

(Леонард Эйлер)

Цели: развитие нового нешаблонного мышления, которое можно успешно применять и в других сферах человеческой деятельности (кибернетика, вычислительная техника, экономика, радиофизика, химия и др).

Задачи: - обучение оценке объективной и субъективной трудности заданий и, разумному выбору этих заданий на экзамене;

- создание «копилки» нетрадиционных и необычных рассуждений.

Ход урока:

1. Орг. момент. Формулирование учащимися темы урока посредством выполнения заданий ЕГЭ части А и В и расшифровке темы по убыванию полученных ответов. ( В качестве предполагаемых слов зашифровать 12 карточек под номерами от -2 до 10) (приложение 1 и 2 )

ограниченности

2. Разделить учащихся на 2 группы, вручить им набор « Теория + 10 заданий» (приложение 3 и 4 ), попросить выбрать те задания, которые можно выполнить по данной теоретической части, обосновать свой выбор.

3. Показать ход выполнения этих заданий на доске учащимися: Носкова К. , Дедевшин И., Веселов И.

4. Разделить задания из карточки на 2 группы для решения их с последующей самопроверкой по листу готовых решений. ( приложение 5)

5. Раздать группам листы с описанием новых нестандартных методов решения уравнений и неравенств для выбора следующей темы ( в качестве дом. задания отыскать в сборниках ЕГЭ задачи, которые можно решать этим методом)( приложение 6 )

6. Рефлексия учащихся ( заполнение таблички)

Ф.И. учащегося

Приложение 1.

Решите эти задания и расположите ответы в порядке убывания, соберите по ответам тему нашего занятия.

Найти абсциссу точки графика функции у=3х²-7х+7, в которой тангенс угла касательной равен -1.

Приложение 2.

9 2 0 7

Исследование функций с помощью производной.

10 5 1 -1

Метод использования ограниченности функций.

4 -2 8 12

Решение неравенств графическим способом.

3 11 6

Решения функциональных уравнений.

Исследование

9

Приложение 3.

Одним из эффективных методов решения уравнений или неравенств является метод, основанный на использовании ограниченности функций. К наиболее известным ограниченным функциям относятся, например, некоторые тригонометрические; обратные тригонометрические функции; функции, содержащие модуль, степень, корень с чётной степенью и другие.

Наиболее распространёнными неравенствами являются следующие:

│f(x)│≥0, -1≤sinx≤1, -1≤cosx≤1, - -

, a^f(x)>0, ( f(x)±g(x))²ⁿ≥0, , a+≥2, b+≤-2 и многие другие. Здесь n-натуральное число, h(x)≥0, a>0, b0.

Кроме приведённых простейших неравенств имеются и более сложные , в частности, тригонометрические неравенства -,

,

и неравенства с модулями вида .

Пример 1. Решить уравнение:

Решение: выделим полный квадрат в правой части уравнения, т.е. . Отсюда следует, что . Так как при этом sinπx≤1, то получаем систему уравнений

Решая второе уравнение системы, получаем что х=. Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что найденное значение х является решением системы, а значит, является решением исходного уравнения.

Ответ: х=.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение: так как Однако sin2πx≤1. Поэтому, 5+4sin2πx≤9. Таким образом, получаем систему уравнений:

Отсюда получаем систему уравнений , из первого уравнения найдём х=. Подставим его во второе уравнение системы и убедимся, что х= является решением системы, а значит, является решением исходного уравнения.

Ответ: х=

Приложение 4.

Из предложенного списка заданий выберите те, которые можно решить и использованием метода ограниченности функций.

1. Решить уравнение х²-4x=(2-cos

2. Найти количество целочисленных решений неравенства х²+7х-8≤0, удовлетворяющих условию ctg²

3. Решить уравнение

4. Решить уравнение 3-(

5. Найти количество целочисленных решений неравенства 16-х²≥0, удовлетворяющих условию 3tg²

6. Решить уравнение

7. Решить уравнение -25х²+40х-23=(cos

8. Найти произведение корней уравнения х

9. Решить уравнение

10. Решить уравнение 3-cos²

Лист самопроверки. Приложение 5.

1. Решить уравнение

Решение: т.к. , то

т.к. и , то

получаем систему уравнений

решаем первое уравнение, получаем х= , подставим это значение во второе уравнение

значит х= является решением исходного уравнения. Ответ: х=

2 . Решить уравнение 3-cos²

Решение: т.к. , то

т.к. и , то

получаем систему уравнений

решаем второе уравнение, получаем х= , подставим это значение в первое уравнение

значит х= является решением исходного уравнения. Ответ: х=

3 . Найти количество целочисленных решений неравенства х²+7х-8≤0, удовлетворяющих условию ctg²

Решение: т.к. и то при любых допустимых значениях х

Найдём нули квадратного трёхчлена , по теореме Виета

Решим неравенство методом интервалов

т.о. х

знаем, что

целочисленные значения х - это числа

исключаем Ответ: 8 целочисленных решений

4 . Найти количество целочисленных решений неравенства 16-х²≥0, удовлетворяющих условию 3tg²

Решение: т.к. и то при любых допустимых значениях х

Найдём нули выражения , х= и х=

Решим неравенство методом интервалов

т.о. х

знаем, что

целочисленные значения х - это числа

исключаем Ответ: 7 целочисленных решений

Приложение 6.

Метод использования монотонности функций.

При решении уравнения типа f(x)=g(x) в ряде случаев эффективным является метод, который использует монотонность функций у= f(x) и у= g(x).

Если функция у= f(x) непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке a≤x≤b, а функция у= g(x) непрерывна и убывает ( возрастает) на этом же отрезке, то уравнение f(x)=g(x) на отрезке a≤x≤b может иметь не более одного корня, значит необходимо или попытаться подбором найти единственный корень уравнения, или показать, что такого корня не существует. Особенно этот метод эффективен в том случае, когда обе части уравнения f(x)=g(x) представляют собой «неудобные» для совместного исследования функции.

Замечание: Если функция у= f(x) возрастает, а функция у= g(x) убывает для a≤x≤b и при этом f(а)>g(а), то корней уравнения среди a≤x≤b нет.

Пример: Решить уравнение

Решение: Областью допустимых значений уравнения являются х. Нетрудно видеть, что на этой области левая часть уравнения возрастает, а правая - убывает, т.е. функция f(x)= является возрастающей, а функция g(x)= - убывающая. В этой связи исходное уравнение может иметь только один корень ( если он есть). Подбором находим этот корень уравнения х=2.

Ответ: х=2

Метод решения функциональных уравнений.

К числу наиболее сложных задач на ЕГЭ относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида

f(f(….f(x)…))=x или f(g(x))=f(h(x)), где f(x),g(x),h(x)- некоторые функции и n≥2

Методы решения этих функциональных уравнений основаны на применении многих теорем, рассмотрим одну из них.

Теорема1. Корни уравнения f(x)=0 являются корнями уравнения f(f(….f(x)…))=x

Пример: Решить уравнение х= , где квадратный корень берётся n раз и n≥1

Решение: Из условия задачи следует, что х>0. Пусть f(x)=, тогда наше уравнение можно представить в виде функционального f(f(….f(x)…))=x. Так как при х>0 функция f(x)= возрастает и f(x)>0, то уравнение х= равносильно уравнению f(x)=x, т.е. =х, положительным решением которого является х=

Ответ: х=