Конспект урока «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ» по математике

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

Подготавливая учащихся к ГИА и ЕГЭ по математике, я столкнулась с проблемой неумения учащимися решать логические задачи. В современных учебниках, начиная с 5 класса, на их решение отводится очень мало времени, и ученики не отрабатывают должным образом навыки решения логических задач. А ведь логические задачи составляют неотъемлемую часть математического образования любого школьника. Они заостряют интеллект и развивают логическое мышление, что очень важно при их подготовке к будущему обучению.

Решить такие задачи в уме, наверное, кто-то и сможет, но понятно, что не каждому это под силу.  Однако решение становится прозрачным и легким для всех, если освоить несколько приемов решения логических задач.

Есть несложные задачи, для решения которых достаточно хорошей смекалки, другие задачи требуют уже более серьезной подготовки: владение техникой решения подобных задач и умением организовать работу над задачей (выявить важные условия, подобрать способ решения).

Что же представляют собой логические задачи? Логические задачи или, как их еще иногда называют, нечисловые, представляют собой текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.). Далее речь пойдет о методах и приемах решения таких задач.

Выделим основные методы решения логических задач и рассмотрим их подробнее по отдельности:

• метод рассуждений

• метод таблиц

• метод графов

• метод кругов Эйлера

• решение средствами алгебры логики

• метод блок-схем

• метод математического бильярда

МЕТОД РАССУЖДЕНИЙ.

Метод рассуждений является самым простым и примитивным из всех перечисленных, потому что не требует каких-то особенных знаний и навыков. Он заключается в проведении рассуждения, используя все условия задачи, в результате которого мы приходим к результату, который и будет искомым решением. Применяя этот метод, мы можем решить относительно несложные задачи.

Задача:  Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение:  Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

В качестве результата делаем вывод: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

МЕТОД ТАБЛИЦ.

Метод таблиц является более сложным относительно метода рассуждений, но так же не требует от нас определенных знаний: только способность логически рассуждать и правильно оценивать условия задачи. Данный метод имеют преимущество перед методом рассуждений, так как таблицы, составляемые в ходе решения задач, позволяют наглядно представить нам условие задачи. Рассмотрим решение логической задачи методом таблиц на примере.

Задача: Жили-были две девочки: Катя и Валя. На их улице было 3 дома: один дом был с окном и трубой, другой - с окном, но без трубы, а третий - с трубой, но без окна. Каждая девочка жила в своем доме. Катя и Валя жили в домах с окнами. Валя любила тепло и часто топила печку. Кто в каком доме жил?

Решение: Составим таблицу, в клетках которой будем ставить – (ложное высказывание) эти пункты противоречат условию задачи, и ставить +(истинное высказывание), если условие совпадает. В итоге получим таблицу:

В результате получаем ответ: Катя живет в доме с окном, но без трубы, а Валя - в доме с окном и трубой.

МЕТОД ГРАФОВ.

Метод графов уже требует определенных знаний и навыков. Прежде чем перейти к решению задачи ответим на простой вопрос: «А что такое граф?».

Графом называется способ представления, при котором объекты изображаются точками, а связи между ними линиями или стрелками. Примером графа может служить схема метро. Точки называются вершинами графа, а линии – ребрами.

Решение задач этим методом заключается в построении графа по условию задачи: дело нелегкое, но интересное.

Задача: Встретились три друга: Белов, Краснов и Чернов. Один из них был в черной рубашке, другой в красной, а третий в белой. Мальчик в красной рубашке говорит Чернову: «Нам надо поменяться рубашками, а то цвет наших рубашек не соответствует нашим фамилиям». Кто из мальчиков в какую рубашку был одет?

Решение: Здесь мы имеем два равночисленных множества: множество фамилий и множество цветов рубашек. Между этими множествами надо установить взаимно-однозначное соответствие. Для этого построим граф. Пусть белые кружочки Б, К и Ч изображают элементы первого множества (Белов, Краснов и Чернов), а черные кружочки б, к и ч – элементы второго множества – белая, красная и чёрная. Условимся соединять эти кружочки тонкой синей линией, если между ними нет соответствия. Если же соответствие между кружочками установлено правильно, то будем соединять их жирной черной линией.

Из первого условия получаем, что мальчик в белой рубашке может быть Черновым:

Из второго условия (цвет рубашки не соответствует фамилии) следует, что Б не соответствует б, К – к и Б – б:

Теперь из чертежа видно, что кружку Ч может соответствовать лишь кружок к, а кружку б только – только кружок К. Отметим эти соответствия черными линиями:                                                                   

Теперь становится ясным, что кружок Б может соответствовать только кружку ч:

Следовательно, Белов одет в чёрную рубашку, Чернов одет в красную рубашку и Краснов – в белую.

МЕТОД КРУГОВ ЭЙЛЕРА.

Метод кругов Эйлера является еще одним наглядным и довольно интересным способом решения логических задач. В основе этого метода лежит построение знаменитых кругов Эйлера, обычно обозначающих какое-либо множество. Разберем пример применения данного метода.

Задача: Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. У шестерых из них лилии, а у пяти - фиалки. И только у двоих есть и фиалки и лилии. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение: Итак, мы имеем, что фиалки растут у пяти подруг, а лилии – шести. Условие, что только у двоих есть и фиалки и лилии, позволяет нам применить круги Эйлера:

СРЕДСТВА АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ.

Метод решения логических задач – решение задач средствами алгебры логики становится возможным только после изучения алгебры логики. Поэтому данный метод вызывает некоторые сложности, но на практике находит широкое применение при решении большого круга задач.

МЕТОД БЛОК - СХЕМ.