Конспект урока «Девять решений геометрической задачи»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Верхнеуслонская средняя общеобразовательная школа»

Верхнеуслонского муниципального района Республики Татарстан

Конспект занятия по геометрии

для 9 класса

«Девять решений геометрической задачи»

Подготовила учитель математики

МБОУ «Верхнеуслонская СОШ»

Корчагина Лидия Ивановна

с. Верхний Услон

2012

Цель: формировать умения оперативно принимать решения, развивать гибкость, экономичность мышления, способствовать развитию активного познавательного интереса к предмету, создать ситуацию успеха, радости от самостоятельного преодоления трудностей; развивать математические способности; укреплять интерес к математике.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Постановка целей урока

3. Работа по теме урока

Задача: Ни гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС построен квадрат АВDE в той полуплоскости от прямой АВ, которой не принадлежит треугольник АВС. Найти расстояние от вершины С прямого угла до центра квадрата, если катеты ВС и АD имеют соответственно длины а и b.

Решение 1: (по теореме синусов)

Пусть Q – центр построенного квадрата (рис.1). ∟AQB=90°, то точка Q лежит на описанной около ∆ АВС окружности. Её диаметр служит гипотенуза АВ. Из ∆ AQC по теореме синусов:

CQ = AB ∙ sin (α+45°), где ∟ВАС=α

СQ= c ∙ (sinα ∙ cos45°+cosα ∙ sin45°) = c = , где АВ=С

Ответ: СQ =

Решение 2 (по теореме косинусов)

Из ∆ AQC

CQ² = b² + AQ² - 2b ∙ AQ cos (α+45°)

Т.к. AQ² = ½ c², то:

СQ² = b² + ½ c² - 2b ∙ ∙ = b² + ½ (a² + b²) - b² + ab = ½ (a +b)²

CQ =

Решение 3 (по теореме Птолемея)

Теорема Во вписанном в окружность четырехугольнике сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин диагоналей.

Для вписанного четырехугольника AQBC имеем:

a ∙ AQ + b ∙ ВQ = c ∙ CQ , но AQ = BQ = и, (a + b) = c ∙ CQ , СQ =

Решение 4 (методом площадей)

S (ABC) + S (ABQ) = S (AQBC)

½ ab + ½ AQ² = ½ c ∙ CQ ∙ sinφ

Луч CQ- , биссектриса ∟АСВ, так как вписанные углы ACQ и BCQ опираются на равные дуги AQ и BQ. По теореме о внешнем угле треугольника: φ=α+45°.

Подставив в предыдущее равенство AQ² = ½ (a² + b²) и sinφ = ∙ (см. решение 1)
получим: ab + ½(a² + b²) = CQ ∙ (a +b) и CQ =

Решение 5 (методом геометрических преобразований)

Выполним поворот около центра Q квадрата на 90°: B A, A A1, С С1 (рис.2)

Так как ∟AA1C= ∟CBA, то ∟CAB + ∟BAA1 ≠ ∟A1AC1 = 180° и поэтому точки С, А, С1 лежат на одной прямой.

В ∆ CQC1 ∟CQC1 = 90° (угол поворота) CQ = C1Q, CC1 = CA+AC1 = a+b

CQ =

Решение 6 (методом координат)

Примем прямые СА и СВ за оси Ох и Оу прямоугольной декартовой системы координат. Найдем координаты х, у точки Q. Она принадлежит биссектрисе ∟АСВ (см. решение 4) и равноудалена от точек А (b,o) и B(o,a). Имеем систему:

x=y
(x-b)² + y² = x² + (y – a)², => 2 x (b-a) = b² -a²

Если а ≠ b, то x = y =

При а = b, четырехугольник AQBC – квадрат и x = y = a, т.е координаты точки Q удовлетворяют прежнему решению.

По формуле расстояния между 2 точками:

CQ = = =

Решение 7 (векторное)

Положим и , ( рис. 1)

Положив , найдем коэффициенты α и β, используя, что и , которые приводят к системе уравнений:

т.к. то

,

.

.

Решение 8 (методом комплексных чисел)

Введем декартову систему координат, так же, как при решении 6.

Тогда точки А,В,С будут иметь комплексные координаты b, ai, o, причем a = a, b = b. При повороте на 90° вектор QB переходит в вектор QA.

Этому повороту соответствует умножение на комплексное число j.

Поэтому имеет равенство:

(aj-q) j = b – q, где q – комплексная координата т. Q

q = . CQ² = q∙q = ∙ = ½ (a + b)²

Решение 9 (Чисто геометрическое)

Опишем около квадрата другой квадрат со стороной а+b. Тогда искомое расстояние, очевидно равно половине диагонали большого квадрата.

4. Итог урока

5. Домашнее задание

- самостоятельно разобрать задачу

Список использованной литературы

1. В. В. Амелькин, Т. И. Рабцевич, В. Л. Тимохович Школьная геометрия в чертежах и формулах. - Минск, Красико-Принт, 2008.

2. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии / В. С. Крамор. — 4-е изд. — М.: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008.

3. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Учимся решать задачи по геометрии.— К.: «Магистр-S», 1996.

4. Солтан В.П., Мейдман С.И. Тождества и неравенства в треугольнике. - Кишинев, Штиинца, 1982.