Презентация "Вычисление криволинейного интеграла 2 рода" – проект, доклад

Вычисление криволинейного интеграла II рода Вычисление криволинейного интеграла ll рода, как и l рода, может быть сведено к вычислению определённого интеграла.

Параметрическое представление кривой интегрирования Пусть кривая AB задана параметрическими уравнениями x=x(t) и y=y(t), где функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими производными x'(t) и y'(t) на отрезке [ ; ], причём начальной точке А кривой соответствует значение параметра t= , а конечной точке В – значение t= . И пусть функция Р(x;y) непрерывна на кривой АВ. Тогда, по определению,

Преобразуем интегральную сумму к переменной t. Так как то по формуле Лагранжа (см.(25.2)) имеем: где Выберем точку так, чтобы Тогда преобразованная интегральная сумма будет интегральной суммой для функции одной переменной на промежутке

Поэтому (56.2) Аналогично получаем: (56.3) Складывая почленно полученные равенства (56.2) и (56.3), получаем: (56.4)

Явное представление кривой интегрирования Если кривая AB задана уравнением где функция и её производная непрерывны на отрезке то из формулы (56.4), приняв за параметр, имеем параметрические уравнения кривой откуда получим: (56.5) В частности, (56.6)

Если AB – гладкая пространственная кривая, которая описывается непрерывными на отрезке функциями и то криволинейный интеграл вычисляется по формуле (56.7)

Замечание. Криволинейные интегралы Ι и ΙΙ рода связаны соотношением где и - углы, образованные касательной к кривой AB в точке с осями и соответственно. Пример 56.1. Вычислить ломаная OAB, где Решение: Так как (см. рис. 239), то

Уравнение отрезка OA есть y=0, 0≤x≤2; уравнение отрезка AB: y=x-2, согласно формуле (56.5), имеем:

Пример 56.2. Вычислить отрезок прямой в пространстве от точки A(1;0;2) до точки B(3;1;4). Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и В: или в параметрической форме: При перемещении от точки А к точке В параметр t меняется от 0 до 1. По формуле (56.7) находим, что