Презентация "Решение простейших тригонометрических уравнений" по математике – проект, доклад

Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Алгебра и начала анализа, 10 класс.

Решение простейших тригонометрических уравнений.

Под простейшими тригонометрическими уравнениями понимают уравнения вида:

,где t – выражение с переменной, a.

Вспомним определение синуса и косинуса угла поворота:

sint cost t x y 0 1

sint - ордината точки поворота

cost - абсцисса точки поворота

(под «точкой поворота» следует понимать – «точку единичной тригонометрической окружности, полученной при повороте на t радиан от начала отсчета»)

–1 a >1 a I случай. Если a[–1;1], то уравнение sint=a не имеет корней.

Для решения уравнения sint=a обратимся к тригонометрическому кругу:

t=arcsina t=–arcsina a

II случай. Если a(–1;1), то уравнение sint=a имеет два корня на промежутке, равном периоду функции синус, т.е. при t [0; 2].

Полученные точки симметричны относительно оси Оу. Значение одной из них соответствует числу arcsina, а вторая точка имеет значение… (проследите за построениями на чертеже и подумайте).

2

Значит, при t [0; 2] мы получили два корня:

Учитывая периодичность функции синус, каждую из этих точек можно получить при добавлении целого числа полных поворотов, т.е.:

или

Можно заметить, что при наличии знака «+» перед arcsina к нему прибавляется четное(2k) число , а при знаке «–» перед arcsina прибавляется нечетное(2m+1) число . Поэтому эти два равенства можно объединить в одно и записать:

Эта формула позволяет найти корни простейшего тригонометрического уравнения sint=a в случаях, если a(–1;1).

III случай. Если a= –1; 0 или 1. При этих трех особых значениях предыдущая формула не годится!

Для a=1 значения единственной соответствующей точки равны:

Для a=0 значения соответствующих точек равны:

Для a=–1 значения единственной соответствующей точки равны:

Разберитесь с этими тремя «особыми» значениями и запомните выведенные формулы!

I случай. Если a[–1;1], то уравнение cost=a не имеет корней.

Для решения уравнения cost=a обратимся к тригонометрическому кругу:

t=arccosa t=–arccosa

II случай. Если a(–1;1), то уравнение cost=a имеет два корня на промежутке, равном периоду функции косинус, т.е. при t [0; 2].

Полученные точки симметричны относительно оси Оx. Значение одной из них соответствует числу arccosa, а вторая точка имеет значение… (проследите за построениями на чертеже и подумайте).

Учитывая периодичность функции косинус, каждую из этих точек можно получить при добавлении целого числа полных поворотов, т.е.:

Эти записи отличаются друг от друга только знаками перед arccosa. Поэтому эти два равенства можно объединить в одно и записать:

Эта формула позволяет найти корни простейшего тригонометрического уравнения cost=a в случаях, если a(–1;1).

линия тангенсов

Так как E(tg)=, то уравнение tgt=a всегда имеет бесконечно много корней.

Корнями уравнения являются числа (величины углов поворота в радианной мере) попадающие в две точки тригонометрического круга, с соответствующими значениями (подумайте какими?):

Все эти корни принято записывать в виде:

линия котангенсов

Так как E(ctg)=, то уравнение ctgt=a всегда имеет бесконечно много корней.