Презентация "Решение простейших тригонометрических уравнений" по математике – проект, доклад

Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Алгебра и начала анализа, 10 класс.

Решение простейших тригонометрических уравнений.

Под простейшими тригонометрическими уравнениями понимают уравнения вида:

,где x – выражение с переменной, a.

x y 1 0 Масштаб :3 −1

Рассмотрим решение уравнения sinx=a с помощью графического способа решения. Для этого нам надо найти абсциссы точек пересечения синусоиды y=sinx и прямой y=a. Сразу же изобразим синусоиду.

I случай: a[–1;1]

Очевидно, что в этом случае точек пересечения нет и поэтому уравнение корней не имеет!

y=a, a>1 y=a, a<–1 a

II случай: a[–1;1]

Очевидно, что в этом случае точек пересечения бесконечно много, причем их абсциссы определяются следующим образом:

1) Рассмотрим точку, абсцисса которой попадает на отрезок .

2) Абсцисса этой точки – есть число(угол в радианной мере), синус которого равен a, т.е. значение этого числа равно arcsina.

3) Абсцисса второй точки, попадающей на отрезок [–; ], равна (–arcsina). Для объяснения этого достаточно вспомнить, что sinx=sin(–x).

4) Все остальные абсциссы точек пересечения получаются из этих двух добавлением к ним чисел вида 2n, где n (ведь мы помним свойство периодичности функции y=sinx). Задание: назовите, какие абсциссы «улетевших» за край чертежа двух точек?

Ответ: (arcsina+2π) и (3π – arcsina).

Таким образом, все корни в этом случае можно записать в виде совокупности:

Или, принято эти две записи объединять в одну (подумайте, как это обосновать):

III случай: a= –1; 0 или 1.

Эти три значения – особые! Для них общая формула корней, выведенная нами в предыдущем случае не годится. Проследите самостоятельно за выводом в каждом отдельном случае.

y=1 y=0 y=–1

Запомните эти три особых случая!

Решение уравнения cosx=a рассмотрим тем же графическим способом. Для этого нам надо найти абсциссы точек пересечения косинусоиды y=cosx и прямой y=a. Сразу же изобразим косинусоиду.

2) Абсцисса этой точки – есть число(угол в радианной мере), косинус которого равен a, т.е. значение этого числа равно arccosa.

3) Абсцисса второй точки, попадающей на отрезок [–; 0], равна –arccosa. Для объяснения этого достаточно вспомнить, что cosx=cos(–x).

4) Все остальные абсциссы точек пересечения получаются из этих двух добавлением к ним чисел вида 2n, где n .

Или, принято эти две записи объединять в одну:

Решение уравнения tgx=a исследуйте самостоятельно:

Решение уравнения сtgx=a исследуйте самостоятельно:

Решение любых тригонометрических уравнений сводится к решению рассмотренных выше простейших тригонометрических уравнений. Для этого применяются тождественные преобразования, изученные Вами ранее: различные тригонометрические формулы, различные способы решения алгебраических уравнений, формулы сокращенного умножения и т.д.. Итак, запомним: