Презентация "Систематическое интегрирование" по математике – проект, доклад

Систематическое интегрирование

Содержание

1.Некоторые сведения о многочленах 2. Интегрирование дробно-рациональных функций. 3. Интегрирование тригонометрических функций. 4. Интегрирование простейших иррациональностей.

Некоторые сведения о многочленах

Понятие многочлена

Функция , где n–целое число, называется многочленом или рациональной целой функцией от x. Число n называют степенью многочлена. Коэффициенты –это действительные или комплексные числа. Независимая переменная x также может быть как действительным, так и комплексным числом.

Теорема Безу

Число a является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится на x–a без остатка.

Доказательство

Если многочлен степени n разделить на x–a, то очевидно в частном получится многочлен степени , а в остатке от деления число, то есть (*) Тогда если x=a–корень многочлена , то и, подставляя x=a, в обе части равенства (*), получим r=0.

Обратно, если r=0, то при x=a правая часть (*) обращается в нуль, тогда и , то есть x=a–корень . Из теоремы Безу следует, что если x=a–корень многочлена, то

Теоремы алгебры

Теорема .Всякий многочлен степени имеет по крайней мере один корень. Теорема. Всякий многочлен степени n разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при .

Случай кратных действительных корней

Если в разложении многочлена на множители некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид: При этом . В этом случае корни называются корнями кратности соответственно.

Пример

. Корень –двукратный корень этого многочлена, –простой корень.

Случай комплексных корней

Теорема. Всякий многочлен n–ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных). Теорема. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень .

Продолжение

Итак, в разложении многочлена на множители комплексные корни входят попарно сопряженными.Им соответствует множитель вида где дискриминант отрицателен.

Случай кратных комплексных корней

Если комплексные корни многочлена являются кратными, то этот многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители согласно формуле где

Интегрирование рациональных дробей

Рациональные дроби

Рациональной дробью называется выражение вида , где - многочлены степеней n и m соответственно. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то рациональная дробь называется правильной, в противном случае -неправильной.

Если рациональная дробь является неправильной, то произведя деление на по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде , где - некоторый многочлен, а - правильная рациональная дробь.

Простейшие рациональные дроби

Правильные рациональные дроби вида где k–целое положительное число ≥2, дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, называются простейшими дробями I, II, III и IV типов.

Интегрирование простейших рациональных дробей

Дробь 1-го типа: Дробь 2-го типа:

Пример интегрирования рациональной дроби

Найдем Разложим знаменатель дроби на множители: Тогда Приведем дроби к общему знаменателю и освободимся от знаменателя.

Положим в обеих частях этого тождества х=0. Получим 8=4А. Тогда А=2. При х=-2 20=-2С, а С=-10. Приравнивая коэффициенты при в обеих частях тождества, получаем 3=А+В, а так как А=2 , то В=1. Имеем

Вычислить Приведем выражение к общему знаменателю: .

Приравняем числители . Многочлены, стоящие в правой и левой частях этого соотношения тождественно равны, т. е. равны коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего соотношения.

е

Отсюда получаем: С=1, D=0, А=-3, В=0. Следовательно, подставляя найденные коэффициенты в разложение дроби на простейшие, получим

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное положительное число, то отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.

Примеры

Вычислить . Отделим от нечетной степени косинуса один множитель, внесем под знак дифференциала синус и получим:

2. Интегралы вида где m и n – четные положительные числа, вычисляют с помощью формул понижения степени:

3.Интегралы вида вычисляют преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по формулам:

Рассмотрим пример: =

4. Интегралы где вычисляют заменой Второй интеграл берут с помощью подстановки t=ctgx.

Вычислим: Разложим интеграл на два интеграла..Получим

5.Такой же заменой можно брать интегралы целые числа одинаковой четности. Например,

Универсальная подстановка

6. Интегралы берут с помощью универсальной подстановки Откуда Например,

7. Универсальная подстановка приводит к громоздким выкладкам! Поэтому если R(sinx,cosx)=R(-sinx,-cosx), то удобнее пользоваться подстановкой tgx=t. Тогда

Интегрирование простейших иррациональностей

Иррациональность, содержащая квадратный трехчлен

1.Интегралы вида берут, выделяя полный квадрат и вводя новую переменную.

2. Интегралы вида вычисляют с помощью подстановки Интегралы вида вычисляют с помощью подстановки где n–наименьшее общее кратное чисел m и k.

Тригонометрические подстановки

Интегралы вида вычисляют с помощью тригонометрических подстановок. 1.

2. 3.