Презентация "Квадратные уравнения" по математике – проект, доклад

Квадратные уравнения.

Автор: Бесфамильная Анна ученица 8-а класса Руководитель: Никифорова М.Н., учитель математики ГОУ СОШ №1968 Москва 2010г.

Цели проекта:

Дать определение квадратного уравнения Рассмотреть алгоритм решения квадратных уравнений Познакомить с историей решения квадратных уравнений Изучить теорему Виета Найти занимательный материал по данной теме(кроссворды, стихи)

Определение квадратного уравнения.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+вх+с=0, где х – переменная, а,в,с – некоторые числа, причем а≠0. Числа а, в, с – коэффициенты квадратного уравнения. Число а – первый коэффициент, в – второй коэффициент, с – свободный член. Если в квадратном уравнении ах²+вх+с=0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Квадратное уравнение, в котором коэффициент а=1 называется приведенным квадратным уравнением.

Стихотворение для запоминания формулы

«Пэ», со знаком взяв обратным, На два мы его разделим. И от корня аккуратно Знаком минут-плюс отделим. А под корнем, очень кстати, Половина «пэ» в квадрате, Минус «ку». И вот решенье Небольшого уравненья.

Алгоритм решения квадратного уравнения:

Кроссворд

1. Уравнение вида ах²+вх+с=о 2.Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент равен 1. 3. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни. 4. Числа а,в и с в квадратном уравнении. 5. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. 6. Равенство, содержащее неизвестное. 7. Неотрицательное значение квадратного корня. 8. Древнегреческий математик, который нашел приемы решения квадратных уравнений без обращения к геометрии. 9. Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0.

10. «Дискриминант» - по-латыни. 11. Коэффициент с квадратного уравнения. 12. Французский математик, который вывел формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов.

Если вы разгадаете этот кроссворд верно, то сможете в выделенном вертикальном столбце прочитать термин, относящийся к теме.

К в а д р а т н о е П р и в е д е н н о е

Р а в н о с и л ь н о е

К о э ф ф и ц и е н т К о р е н ь У р а в н е н и е

А р и ф м е т и ч е с к и й

Д и о ф а н т Н е п о л н о е Р а з л и ч и т е л ь С в о б о д н ы й В и е т

Из истории решения квадратных уравнений.

Уравнения 2-ой степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский ученый ал-Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь -мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической интерпретации.

Уравнение с вещественными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a,b,c может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b2 − 4ac:

при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле

при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

при D

для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

Вместо формулы

где k = b / 2. Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то есть для уравнений вида ax² + 2kx + c = 0.

Квадратное уравнение вида x2 + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней

упрощается до

Мнемонические правила

«Минус» напишем сначала, Рядом с ним p пополам, «Плюс-минус» знак радикала, С детства знакомого нам. Ну, а под корнем, приятель, сводится всё к пустяку: p пополам и в квадрате Минус несчастное прекрасное q.

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле

и указанным выше ее вариантам, но различимыми является только два случая: нулевого дискриминанта (один корень) и ненулевого (два корня).

По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни - и дробь уж готова: В числителе с, в знаменателе а, А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь - это что за беда - В числителе в, в знаменателе а.

Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:

В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0):

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Уравнение вида

является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается заменой

c последующим решением квадратного уравнения

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений

и

Если f (x) = x², то уравнение принимает вид: ax^4 + bx² + c = 0 Такое уравнение называется биквадратным

Выводы:

1 В процессе работы над презентацией я изучила решение квадратных уравнений. 2 Научилась пользоваться формулами для решения квадратных уравнений 3 Узнала об истории решения 4 Данная презентация будет полезна учащимся 8-9классов для изучения и повторения при решении квадратных уравнений 5 Презентация окажет помощь учителям при объяснении темы «Квадратные уравнения»

1. http://mathematic.su/teorema.html

2. http://megasoft2009.3dn.ru/load/27

3. http://www.rusedu.ru/

4.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

Литература: