Конспект урока «ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ» по математике
Тема: ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
| |
| Методическая цель: | Активизация познавательной деятельности обучающихся на уроке математики. |
| КМО: |
|
| Тип урока: | Изучение нового материала. |
| Вид урока: | Комбинированный. |
Ход урока.
-
Орг. момент.
-
Подготовка обучающихся к занятию.
Сообщение темы и цели занятия. Мотивация.
-
Формирование новых знаний.
Работа с обучающимися получившими опережающее задание.
1 обучающийся: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: аb. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть
скрещивающимися. На рисунке1 перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с скрещивающиеся.
2 обучающийся: Докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Доказательство. Пусть а||b и ac. Докажем, что bс. Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с (рис. 2). Так как a^c, то AMC = 90°.
Рисунок 1 Рисунок 2
По условию леммы b||а, а по построению а||МA, поэтому b||МА. Таким образом, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b^c. Лемма доказана.
Оформление в тетради:
| а||b, ac | |
| Доказать: | bс |
| Доказательство: | 1. Через точку М , МА|| a, МС|| c, a ^ c МА^МСÐAMC=90°. 2. b||а, а||МA b||МА b^c. |
3 обучающийся: Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Перпендикулярность прямой а и плоскости обозначается так: a^a. Говорят также, что плоскость a, перпендикулярна к прямой а.
Если прямая а перпендикулярна к плоскости a, то она пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость a, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. Но тогда в плоскости a имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости. Значит, прямая а пересекает плоскость a.
На рисунке 3 изображена прямая а, перпендикулярная к плоскости a.
Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, т. е. перпендикулярно к плоскости земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т. д.
Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Рисунок 3
Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости,
Рисунок 4
Доказательство. Рассмотрим две параллельные прямые а и a1 и плоскость a, такую, что a^a. Докажем, что и a1^a.
Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости a (рис. 4). Так как a^a, то a^x. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей a1^x. Таким образом, прямая a1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости a, т. е. a1^a. Теорема доказана.
Оформление в тетради:
| а|| a1, aa | |
| Доказать: | a1a |
| Доказательство: | Проведём х , т.к. aa, то a ^хÞ a1 х (лемма) Þ Þa1a.. |
Докажем обратную теорему.
Теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Рисунок 5
Доказательство. Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости a (рис. 5,а). Докажем, что а b.
Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а. По предыдущей теореме b1^a. Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что а b. Допустим, что прямые b и b1 не совпадают. Тогда в плоскости , содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости a и (рис. 5, б). Но это невозможно, следовательно, аb. Теорема доказана.
Оформление в тетради:
| aa, ba | |
| Доказать: | а b |
| Доказательство: | 1.Предположим, что а b тогда, через М b, b1 ||aÞ Þaa Þ b1^a. 2. через точку М в плоскости , b и b1 ^с Þ а b |
-
Закрепление нового материала.
-
Чтение теорем устанавливающих связь между параллельностью и перпендикулярностью.
-
Попарная проверка теорем.
-
Применение знаний и умений обучающихся.
Заранее выбираются консультанты, которые разбирают задачи и выполняют рисунки к ним.
Группа делится на подгруппы, где вместе с консультантами разбираются задачи. От каждой группы представитель записывает решение задачи у доски. Все обучающиеся записывают решения задач в тетрадь.
-
подгруппа №116(а).
-
подгруппа №116 (б).
-
подгруппа №117
-
Подгруппа №118
-
Подгруппа №117
-
Домашнее задание.
-
Подведение итогов занятия(выставление отметок).
Приложение
| № 116 (б) А D C B А1 D1 C1 B1 Дано: Доказать: Доказательство: ABA1B1, ABDD1 A1B1 DD1 (лемма); ABDD1, DD1CC1 ABCC1 (лемма). |
| № 117 А D B C N M Дано: DABC - тетраэдр, BCAD, MAB, AM = MB, NAC, AN = NC Доказать: ADMN Доказательство: MNBC, (как средняя линия ABC); BCAD MNAD (лемма). |
| № 118 А D B C M O a Дано: a, A,M, O a, O,B,C,D Найти: прямые углы Решение: a aCO, a DO, aBO (по определению перпендикулярности прямой и плоскости) AOB = 90º, MOC = 90º, DOA = 90º |
- параллелепипед, 
, 
, 
Здесь представлен конспект к уроку на тему «ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет конспекта: Математика Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.
Список похожих конспектов
