Алгебра. Раздел: Теория вероятностей.

Тема: Статистическое определение вероятности. Комбинаторные методы решения задач.

Цель: выработать умение решать задачи на определение частоты, статистической вероятности (с использованием основных формул комбинаторики).

Оборудование: презентация

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

Задача №1. По статистике в городе Новинске за год из каждой 1000 автомобилистов два попадают в аварию. Какова вероятность того, что автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий?

Решение.

Задача №2. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу:

Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет:

а) шатеном;
б) рыжим;
в) не рыжим.

Указание. Ответ запишите в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой.

Решение.

а)

б)

в)

3. Математический диктант (проверка теории).

1) Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в классической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой формуле.

( , А – некоторое событие, m – количество исходов, при которых событие А появляется, n – конечное число равновозможных исходов.

2) Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в статистической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой формуле. ( , где - число испытаний, в которых наступило событие А, N – общее число испытаний).

3) Какому условию должны удовлетворять исходы опыта, чтобы можно было воспользоваться классическим определением вероятности? (исходы равновозможные).

4) Чему равна частота достоверного события? (W(A)=1).

5) Чему равна частота невозможного события? (W(A)=0).

IV. Практикум по решению задач.

Задача 1. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

Решение.

w = 5/100 = 0,05

Ответ:  = 0,05.

Задача 2. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов..

Решение.

Ответ: 102 попадания.

5. Новый материал. Вероятностная шкала.

Что вероятнее?

Попытаемся расположить на специальной вероятностной шкале события:

• А={в следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье};

• В={свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз};

• С={при бросании кубика выпадет шестерка};

• D={пpu бросании кубика выпадет четное число очков};

• Е={в следующем году снег в Москве вообще не выпадет};

• F={пpu бросании кубика выпадет семерка};

• G={в следующем году в Москве выпадет снег};

• Н={при бросании кубика выпадет число очков, меньшее 7}.

Чем больше у случайного события шансов произойти, тем оно более вероятно и тем правее его следует расположить на вероятностной шкале; чем меньше шансов - тем левее. Если два события, на наш взгляд, имеют равные шансы, будем располагать их в одном и том же месте шкалы друг над другом.

События: невозможные случайные достоверные

Вероятность: 0 0,5 1

Пример 1. Вова хочет вытянуть наугад одну карту из колоды с 36-ю картами. Маша, Саша, Гриша и Наташа предсказали следующее:

• Маша: Это будет король.

• Саша: Это будет пиковая дама.

• Гриша: Эта карта будет красной масти.

• Наташа: Эта карта будет пиковой масти.

Решение :

• Как сравнить между собой шансы предсказателей?

• Обозначим все события, предсказанные ребятами, буквами:

• А={Вова достанет короля};

• В={Вова достанет пиковую даму};

• С={Вова достанет карту красной масти};

• D={Вова достанет карту пиковой масти}.

• Всего в колоде:

• королей - 4; Р(А)=4/36

• пиковая дама - 1; Р(В)=1/36

• карт красных мастей-18; Р(С)=18/36

• пик- 9; Р(D)=9|36

BA D C

Пример 2. Что вероятнее: А={получить шестерку при подбрасывании кубика} или В={вытянуть шестерку из перетасованной колоды карт}?

• Как и в предыдущем примере, подсчитаем шансы за осуществление каждого из этих событий.

• На кубике одна шестерка; в колоде четыре шестерки.

• Стало быть, событие. В более вероятно?

• Нет, конечно! Просто мы неверно считали шансы. Ведь когда речь идет о шансах, то говорят не просто «два шанса» или «один шанс», а «два шанса из трех» или «один шанс из тысячи».

• В примере 1 это не могло привести к ошибке, поскольку там все шансы были «из 36».

• А вот в этом примере ситуация сложнее:

• шестерок на кубике -1, а всего граней у куба - 6;

шестерок в колоде - 4, а всего карт в колоде - 36.

Решение :

• Ясно, что «1 шанс из 6» лучше, чем «4шанса из 36», ведь 1/6 больше 4/36.

• Таким образом, шансы имеет смысл сравнивать как дроби: в числителе - сколько шансов за осуществление данного события, а в знаменателе - сколько всего возможно исходов. Понятно, что если знаменатели одинаковые, то можно сравнивать только числители (что и было сделано в примере 1).

Пример 3. Попробуем на основе нашего опыта общения по телефону сравнить между собой степень вероятности следующих событий:

• А ={вам никто не позвонит с 5 до 6 утра};

• В ={вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра};

• С ={вам кто-нибудь позвонит с 18 до 21};

• D ={вам никто не позвонит с 18 до 21}.

Решение :

• Ранним утром звонки бывают очень редко, поэтому событие А - очень вероятное, почти достоверное, а В - маловероятное, почти невозможное.

• Вечерние часы, наоборот, время самого активного телефонного общения, поэтому событие С для большинства людей вероятные, чем D. Хотя, если вам вообще звонят редко, D может оказаться вероятнее С.

5. Решение задач.

Задача 3. При проведении контроля качества среди 1000 случайно отобранных деталей оказалось 5 бракованных. Сколько бракованных деталей следует ожидать среди 25 000 деталей?

Решение. По результатам контроля можно оценить вероятность

события А={произведенная деталь бракованная}. Приближенно она будет равна его частоте:

Р(А) = 0,005.

Следует ожидать такую частоту и в будущем, поэтому среди 25 000 деталей окажется около 25 000 • 0,005 = 125 бракованных.

Задача 4. Население города Калуги составляет около 400 000 жителей. Сколько калужан родились 29 февраля?

Решение. Заметим прежде всего, что вопрос задачи не совсем корректен: мы можем ответить на него лишь приближенно, ибо реальная частота даже в такой большой выборке из 400 000 жителей не обязана совпадать с вероятностью.

29 февраля бывает только в високосном году — один раз в четыре года, следовательно, для случайно выбранного человека его день рождения попадает на 29 февраля с вероятностью

Это значит, что среди 400 000 жителей Калуги следует ожидать около человека, которым приходится праздновать свой день рождения раз в четыре года.

Задача 5. Из озера выловили 86 рыб, которых пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов, на этот раз поймали 78 рыб, среди которых оказалось 6 помеченных. Сколько приблизительно рыб живет в озере?

Решение:

• Оказывается, найти ответ на этот неожиданный вопрос совсем несложно.

• В самом деле: обозначим неизвестную нам численность рыб в озере через N.

• Тогда вероятность поймать помеченную рыбу в озере будет 86/ N

• С другой стороны, эта вероятность должна приближенно равняться полученной во втором улове частоте:

86/N=6/78

• Отсюда N = 86 78/6 =1118

Сравнивая вероятности всех возможных исходов эксперимента, можно предсказывать, каким из них эксперимент закончится скорее всего. Обратите внимание, что мы говорим «скорее всего», а не «наверняка» — ведь любой статистический прогноз может оказаться ошибочным.

VII. Домашнее задание.

Практическое задание. В письменном тексте одной из «букв» считается пробел между словами. Найдите частоту просвета в любом газетном тексте.