Конспект урока «Вписанные и описанные многогранники» по геометрии

Открытый урок по теме «Вписанные и описанные многогранники»

Тема урока: Сфера, вписанная в пирамиду. Сфера, описанная около пирамиды.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Цели урока:

• Ввести понятие сферы, вписанной в многогранник; сферы, описанной около многогранника.

• Сравнить описанную окружность и описанную сферу, вписанную окружность и вписанную сферу.

• Проанализировать условия существования вписанной сферы и описанной сферы.

• Сформировать навыки решения задач по теме.

• Развитие у учащихся навыков самостоятельной работы.

• Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

Оборудование:

• Интерактивная доска

• Презентация «Вписанная и описанная сфера»

• Условия задач в рисунках на доске.

• Раздаточный материал (опорные конспекты).

1. Планиметрия. Вписанная и описанная окружность.

2. Стереометрия. Вписанная сфера

3. Стереометрия. Описанная сфера

Структура урока:

• Постановка целей урока (2 минуты).

• Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос) (6 минут).

• Объяснение нового материала (15 минут)

• Осмысление темы при самостоятельном составлении конспекта по теме «Стереометрия. Описанная сфера» и применение темы при решении задач (15 минут).

• Подведение итогов урока проверкой знания и понимания изученной темы (фронтальный опрос). Оценка ответов учащихся (5 минут).

• Постановка домашнего задания (2 минуты).

• Резервные задания.

Ход урока

1. Постановка целей урока.

• Ввести понятие сферы, вписанной в многогранник; сферы, описанной около многогранника.

• Сравнить описанную окружность и описанную сферу, вписанную окружность и вписанную сферу.

• Проанализировать условия существования вписанной сферы и описанной сферы.

• Сформировать навыки решения задач по теме.

2. Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос).

Окружность, вписанная в многоугольник.

• Какая окружность называется вписанной в многоугольник?

• Как называется многоугольник, в который вписана окружность?

• Какая точка является центром окружности, вписанной в многоугольник?

• Каким свойством обладает центр окружности, вписанной в многоугольник?

• Где располагается центр окружности, вписанной в многоугольник?

• Какой многоугольник можно описать около окружности, при каких условиях?

Окружность, описанная около многоугольника.

• Какая окружность называется описанной около многоугольника?

• Как называется многоугольник, около которого описана окружность?

• Какая точка является центром окружности, описанной около многоугольника?

• Каким свойством обладает центр окружности, описанной около многоугольника?

• Где может располагаться центр окружности, описанной около многоугольника?

• Какой многоугольник можно вписать в окружность и при каких условиях?

3. Объяснение нового материала.

А. По аналогии учащиеся формулируют новые определения и отвечают на поставленные вопросы.

Сфера, вписанная в многогранник.

• Сформулируйте определение сферы, вписанной в многогранник.

• Как называется многогранник, в который можно вписать сферу?

• Каким свойством обладает центр вписанной в многогранник сферы?

• Что представляет множество точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла? (трехгранного угла?)

• Какая точка является центром сферы, вписанной в многогранник?

• В какой многогранник можно вписать сферу, при каких условиях?

В. Учащиеся доказывают теорему.

В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

В процессе работы на уроке учащиеся пользуются опорными конспектами.

С. Учащиеся анализируют решение задачи.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна h. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

D. Учащиеся решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4, боковые грани наклонены к основанию под углом 60⁰. Найдите радиус, вписанной в эту пирамиду сферы.

4. Осмысление темы при самостоятельном составлении конспекта по «Сфера, описанная около многогранника» и применение при решении задач.

А. Учащиеся самостоятельно заполняют конспект по теме «Сфера, описанная около многогранника». Отвечают на следующие вопросы:

• Сформулируйте определение сферы, описанной около многогранника.

• Как называется многогранник, около которого можно описать сферу?

• Каким свойством обладает центр описанной около многогранника сферы?

• Что представляет собой множество точек пространства, равноудаленных от двух точек?

• Какая точка является центром сферы, описанной около многогранника?

• Где может быть расположен центр сферы, описанной около пирамиды? (многогранника?)

• Около какого многогранника можно описать сферу?

В. Учащиеся самостоятельно решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а боковые ребра наклонены к основанию под углом 60⁰. Найдите радиус описанной около пирамиды сферы.

С. Проверка составленного конспекта и анализ решения задачи.

5. Подведение итогов урока проверкой знания и понимания изученной темы (фронтальный опрос). Оценка ответов учащихся.

А. Учащиеся самостоятельно подводят итоги урока.

В. Отвечают на дополнительные вопросы.

• Можно ли описать сферу около четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом?

• Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда? Если да, то где находится его центр?

• Где в жизни применяется изученная на уроке теория (архитектура, сотовая телефонная связь, геостационарные спутники, система обнаружения GPS).

6. Постановка домашнего задания.

А. Составить конспект по теме «Сфера, описанная около призмы. Сфера, вписанная в призму». ( Рассмотреть по учебнику задачи: №632,637,638)

В. Решить из учебника задачу № 640.

С. Из методички Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс» решить задачи: Вариант №3 С12(1), Вариант №4 С12(1).

D. Дополнительное задание: Вариант №5 С12 (1).

7. Резервные задания.

Из методички Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс»решить задачи: Вариант №3 С12(1), Вариант №4 С12(1).

Учебно – методический комплект

1. Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др., М.: Просвещение, 2010г.

2. Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс», М.: Просвещение.

Учитель математики

ГБОУ лицей-интернат «ЦОД»

г Нижний Новгород

Аксенова М.А.